Giải bài 2.27 trang 38 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị

\(C_n^0,C_n^1,C_n^2,...,C_n^n\)

Áp dụng: Tìm hệ số lớn nhất của khai triển \({(a + b)^n}\) biết rằng tổng các hệ số của khai triển bằng 4096.

Lời giải chi tiết

Với \(n = 1\) ta có \(C_1^0 = C_1^1 = 1.\)

Với \(n \ge 2\)

Gọi \(C_n^k(0 < k < n)\) là giá trị lớn nhất.

Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}C_n^k \ge C_n^{k - 1}\;(1)\\C_n^k \ge C_n^{k + 1}\;(2)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}(1) \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} \ge \frac{{n!}}{{(k - 1)!\left( {n + 1 - k} \right)!}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{k} \ge \frac{1}{{n + 1 - k}} \Leftrightarrow n + 1 - k \ge k\\ \Leftrightarrow k \le \frac{{n + 1}}{2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}(2) \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} \ge \frac{{n!}}{{(k + 1)!\left( {n - 1 - k} \right)!}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{n - k}} \ge \frac{1}{{k + 1}} \Leftrightarrow k + 1 \ge n - k\\ \Leftrightarrow k \ge \frac{{n - 1}}{2}\end{array}\)

Kết hợp ta được \(\frac{{n - 1}}{2} \le k \le \frac{{n + 1}}{2}\)

+ Nếu \(n = 2m \Rightarrow \frac{{2m - 1}}{2} \le k \le \frac{{2m + 1}}{2} \Rightarrow k = m\)

+ Nếu \(n = 2m + 1 \Rightarrow \frac{{2m}}{2} \le k \le \frac{{2m + 2}}{2} \Rightarrow k = m;k = m + 1\)

Áp dụng:

Ta có tổng các hệ số của khai triển \({(a + b)^n}\) là

\(C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n = {2^n}\)

\( \Rightarrow {2^n} = 4096 = {2^{12}} \Rightarrow n = 12\)

Khi đó hệ số lớn nhất của khai triển \({(a + b)^{12}}\) là \(C_{12}^6.\)