Giải bài 2.12 trang 46 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 1\), \(\left| {\overrightarrow b } \right| = 2\) và \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {45^ \circ }\).

Tính các tích vô hướng sau:

a) \({\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)^2}\)

b) \(\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) \cdot \left( {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right)\)

c) \(\left( {2\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right) \cdot \left( {\overrightarrow a  + 3\overrightarrow b } \right)\)

Lời giải chi tiết

Ta có \(\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos {45^ \circ } = 1 \cdot 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \sqrt 2 \); \({\left( {\overrightarrow a } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} = 1\) và \({\left( {\overrightarrow b } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = 4\).

a) Ta có \({\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow a } \right)^2} + 2 \cdot \overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  + {\left( {\overrightarrow b } \right)^2} = 1 + 2 \cdot \sqrt 2  + 4 = 5 + 2\sqrt 2 \).

b) \(\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) \cdot \left( {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right) = {\overrightarrow a ^2} - {\overrightarrow b ^2} = 1 - 4 =  - 3\).

c) Ta có:

\(\left( {2\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right) \cdot \left( {\overrightarrow a  + 3\overrightarrow b } \right) = 2{\overrightarrow a ^2} + 6 \cdot \overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  - \overrightarrow b  \cdot \overrightarrow a  - 3 \cdot {\overrightarrow b ^2} = 2 \cdot 1 + 5 \cdot \overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  - 3 \cdot 4 = 2 + 5 \cdot \sqrt 2  - 12 =  - 10 + 5\sqrt 2 \).