Trang chủ
SBT Toán 12 - Giải SBT Toán 12 - Kết nối tri thức

Giải bài 1.68 trang 37 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Một hành lang giữa hai nhà có hình dạng của một lăng trụ đứng (xem hình bên). Hai mặt bên ABB’A’ và ACC’A’ là hai tấm kính hình chữ nhật dài 20 m, rộng 5 m. Gọi x (m) là độ dài của cạnh BC. a) Tính thể tích V của hình lăng trụ theo x. b) Tìm x sao cho hình lăng trụ có thể tích lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.

Quảng cáo

Đề bài

Một hành lang giữa hai nhà có hình dạng của một lăng trụ đứng (xem hình bên). Hai mặt bên ABB’A’ và ACC’A’ là hai tấm kính hình chữ nhật dài 20 m, rộng 5 m. Gọi x (m) là độ dài của cạnh BC.

a) Tính thể tích V của hình lăng trụ theo x.

b) Tìm x sao cho hình lăng trụ có thể tích lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ý a: Sử dụng một số kiến thức về hình học phẳng và hình lăng trụ để tìm được diện tích đáy và chiều cao, từ đó tính được thể tích V.

Ý b: Xét hàm số V theo x trên \(\left( {0;10} \right)\) sau đó lập bảng biến thiên và tìm giá trị lớn nhất của hàm số.

Lời giải chi tiết

a) Ta thấy do ABB’A’ và ACC’A’ là hai tấm kính hình chữ nhật có kích thước giống nhau nên \(AC = AB\) (đều là chiều rộng của mặt hình chữ nhật) do đó đáy \(ABC\)là tam giác cân tại

\(A\). Gọi \(H\) là trung điểm cạnh \(AB\) suy ra \(AH\) là đường cao của tam giác (tính chất tam giác cân). Ta có \(AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}}  = \sqrt {25 - {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}}  = \frac{1}{2}\sqrt {100 - {x^2}} \).

Diện tích tam giác ABC là \(S = \frac{1}{2}BC \cdot AH = \frac{1}{2}x \cdot \frac{1}{2}\sqrt {100 - {x^2}}  = \frac{1}{4}x\sqrt {100 - {x^2}} \).

Thể tích khối lăng trụ là \(V = S \cdot AA' = 5x\sqrt {100 - {x^2}} \) (m3) với \(0 < x < 10\).

b) Xét hàm số \(V = 5x\sqrt {100 - {x^2}} \) trên \(\left( {0;10} \right)\).

Ta có \(V' = 5x\sqrt {100 - {x^2}}  + 5x\frac{{ - 2x}}{{2\sqrt {100 - {x^2}} }} = \frac{{500 - 10{x^2}}}{{\sqrt {100 - {x^2}} }};\)

Suy ra \(V' = 0 \Leftrightarrow 500 - 10{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 5\sqrt 2 \) do \(x > 0\).

Lập bảng biến thiên:

Vậy hình lăng trụ có thể tích lớn nhất khi \(x = 5\sqrt 2 \) (m). \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;10} \right)} V = V\left( {5\sqrt 2 } \right) = 250\) (m3).

  • Giải bài 1.67 trang 36 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    Cắt bỏ hình quạt tròn OAB (hình phẳng có nét gạch trong hình dưới đây) từ một mảnh các tông hình tròn bán kính R rồi dán hai bán kính OA và OB của hình quạt tròn còn lại với nhau được một cái phễu có dạng của một hình nón. Gọi x là góc ở tâm của quạt tròn dùng làm phễu (left( {0 < x < 2pi } right)). a) Hãy biểu diễn bán kính đáy r và đường cao h của hình nón theo R và x. b) Tính thể tích của hình nón theo R và x c) Tìm x để hình nón có thể tích lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.

  • Giải bài 1.66 trang 36 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    Cho hàm số (y = frac{{m{x^2} + left( {2m - 1} right)x - 1}}{{x + 2}}) với (m) là tham số. a) Chứng minh rằng hàm số đã cho luôn có cực đại, cực tiểu với mọi (m > 0). b) Khảo sát và vẽ đồ thị (left( H right)) của hàm số đã cho với (m = 1). c) Giả sử (Delta ) là tiếp tuyến của đồ thị (left( H right)) tại điểm (M in left( H right)) bất kì. Chứng minh rằng nếu (Delta ) cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của (left( H right)) tại A và B thì M luôn là trung điểm của

  • Giải bài 1.65 trang 36 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    Cho hàm số (y = frac{{left( {m + 1} right)x - 2m + 1}}{{x - 1}}). a) Tìm (m) để tiệm cận ngang của đồ thị đi qua (left( {1;2} right)). b) Khảo sát và vẽ đồ thị (left( H right)) của hàm số (y = fleft( x right)) với (m) tìm được ở câu a. c) Từ đồ thị (left( H right)) của hàm số (y = fleft( x right)) ở câu b, vẽ đồ thị (y = left| {fleft( x right)} right|).

  • Giải bài 1.64 trang 36 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    Cho hàm số (y = {x^3} - 3{x^2} + 2) có đồ thị (C). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b) Viết phương trình tiếp tuyến (Delta ) của đồ thị (C) tại tâm đối xứng của nó. Chứng minh rằng (Delta ) là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của (C). c) Tìm các giá trị của tham số (m) để phương trình ({x^3} - 3{x^2} - m = 0) có ba nghiệm phân biệt.

  • Giải bài 1.63 trang 36 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    Cho hàm số (y = frac{1}{3}{x^3} + left( {m - 1} right){x^2} + left( {2m - 3} right)x + frac{2}{3}). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi (m = 2). b) Tìm (m) để hàm số có hai điểm cực trị ({x_1}) và ({x_2}) thỏa mãn (x_1^2 + x_2^2 = 5). c) Tìm (m) để hàm số đồng biến trên (mathbb{R}). d) Tìm (m) để hàm số đồng biến trên khoảng (left( {1; + infty } right)).

Quảng cáo
Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
close