Giải bài 1.66 trang 36 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Cho hàm số (y = frac{{m{x^2} + left( {2m - 1} right)x - 1}}{{x + 2}}) với (m) là tham số. a) Chứng minh rằng hàm số đã cho luôn có cực đại, cực tiểu với mọi (m > 0). b) Khảo sát và vẽ đồ thị (left( H right)) của hàm số đã cho với (m = 1). c) Giả sử (Delta ) là tiếp tuyến của đồ thị (left( H right)) tại điểm (M in left( H right)) bất kì. Chứng minh rằng nếu (Delta ) cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của (left( H right)) tại A và B thì M luôn là trung điểm của

Quảng cáo

Đề bài

Cho hàm số \(y = \frac{{m{x^2} + \left( {2m - 1} \right)x - 1}}{{x + 2}}\) với \(m\) là tham số.

a) Chứng minh rằng hàm số đã cho luôn có cực đại, cực tiểu với mọi \(m > 0\).

b) Khảo sát và vẽ đồ thị \(\left( H \right)\) của hàm số đã cho với \(m = 1\).

c) Giả sử \(\Delta \) là tiếp tuyến của đồ thị \(\left( H \right)\) tại điểm \(M \in \left( H \right)\) bất kì. Chứng minh rằng nếu \(\Delta \) cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của \(\left( H \right)\) tại A và B thì M luôn là trung điểm của đoạn AB.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ý a: Xét dấu đạo hàm và lập bảng biến thiên.

Ý b: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(\left( H \right)\).

Ý c: Giả sử điểm M thuộc đồ thị biểu diễn tọa độ theo một tham số, từ đó viết phương trình tiếp tuyến tại M của đồ thị phụ thuộc tham số sau đó giải để tìm được tọa độ A và B theo tham số, từ đó tính toán tọa độ trung điểm sẽ suy ra điều phải chứng minh.

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(y' = \frac{{\left( {2mx + 2m - 1} \right)\left( {x + 2} \right) + m{x^2} + \left( {2m - 1} \right)x - 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{m{x^2} + 4mx + 4m - 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).

Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow m{x^2} + 4mx + 4m - 1 = 0{\rm{ }}\left( {x \ne  - 2} \right)\).

Xét phương trình \(m{x^2} + 4mx + 4m - 1 = 0{\rm{  }}\)

Ta có \(\Delta ' = {\left( {2m} \right)^2} - 4{m^2} + m = m\). Do đó nếu \(m > 0\) thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = \frac{{ - 2m - \sqrt m }}{m} =  - 2 - \frac{1}{{\sqrt m }}\); \({x_2} = \frac{{ - 2m + \sqrt m }}{m} =  - 2 + \frac{1}{{\sqrt m }}\).

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số luôn có tiểu và cực đại với mọi \(m > 0\).

b) Với \(m = 1\) ta có \(\left( H \right):{\rm{ }}y = \frac{{{x^2} + x - 1}}{{x + 2}}\).

Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).

Ta có \(y' = \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) - {x^2} - x + 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).

Suy ra \(y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow x =  - 3\) hoặc \(x =  - 1\).

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y =  \pm \infty \).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} \frac{{{x^2} + x - 1}}{{x + 2}} =  + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} \frac{{{x^2} + x - 1}}{{x + 2}} =  - \infty \) suy ra \(x =  - 2\) là tiệm cận đứng.

Ta có \(y = \frac{{{x^2} + x - 1}}{{x + 2}} = x - 1 + \frac{1}{{x + 2}}\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left[ {y - \left( {x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{1}{{x + 2}} = 0\) suy ra \(y = x - 1\) là tiệm cận xiên

Ta lập bảng biến thiên

Đồ thị:

c) Giả sử \(M \in \left( H \right)\) bất kì suy ra \(M\left( {t;\frac{{{t^2} + t - 1}}{{t + 2}}} \right)\).

Tiếp tuyến của \(\left( H \right)\) tại \(M\) có phương trình là

\(\Delta :y = y'\left( t \right)\left( {x - t} \right) + \frac{{{t^2} + t - 1}}{{t + 2}} \Leftrightarrow y = \frac{{{t^2} + 4t + 3}}{{{{\left( {t + 2} \right)}^2}}}\left( {x - t} \right) + \frac{{{t^2} + t - 1}}{{t + 2}}\).

Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng \(x =  - 2\) tại \(A\left( { - 2; - \frac{{3t + 4}}{{t + 2}}} \right)\), cắt tiệm cận xiên \(y = x - 1\) tại

\(B\left( {2t + 2;2t + 1} \right)\). Khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 2t = 2{x_M}\\{y_A} + {y_B} = \left( {2t + 1} \right) - \frac{{3t + 4}}{{t + 2}} = \frac{{2{t^2} + 2t - 2}}{{t + 2}} = 2{y_M}\end{array} \right.\).

Vậy M là trung điểm của đoạn AB.

  • Giải bài 1.67 trang 36 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    Cắt bỏ hình quạt tròn OAB (hình phẳng có nét gạch trong hình dưới đây) từ một mảnh các tông hình tròn bán kính R rồi dán hai bán kính OA và OB của hình quạt tròn còn lại với nhau được một cái phễu có dạng của một hình nón. Gọi x là góc ở tâm của quạt tròn dùng làm phễu (left( {0 < x < 2pi } right)). a) Hãy biểu diễn bán kính đáy r và đường cao h của hình nón theo R và x. b) Tính thể tích của hình nón theo R và x c) Tìm x để hình nón có thể tích lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.

  • Giải bài 1.68 trang 37 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    Một hành lang giữa hai nhà có hình dạng của một lăng trụ đứng (xem hình bên). Hai mặt bên ABB’A’ và ACC’A’ là hai tấm kính hình chữ nhật dài 20 m, rộng 5 m. Gọi x (m) là độ dài của cạnh BC. a) Tính thể tích V của hình lăng trụ theo x. b) Tìm x sao cho hình lăng trụ có thể tích lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.

  • Giải bài 1.65 trang 36 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    Cho hàm số (y = frac{{left( {m + 1} right)x - 2m + 1}}{{x - 1}}). a) Tìm (m) để tiệm cận ngang của đồ thị đi qua (left( {1;2} right)). b) Khảo sát và vẽ đồ thị (left( H right)) của hàm số (y = fleft( x right)) với (m) tìm được ở câu a. c) Từ đồ thị (left( H right)) của hàm số (y = fleft( x right)) ở câu b, vẽ đồ thị (y = left| {fleft( x right)} right|).

  • Giải bài 1.64 trang 36 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    Cho hàm số (y = {x^3} - 3{x^2} + 2) có đồ thị (C). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b) Viết phương trình tiếp tuyến (Delta ) của đồ thị (C) tại tâm đối xứng của nó. Chứng minh rằng (Delta ) là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của (C). c) Tìm các giá trị của tham số (m) để phương trình ({x^3} - 3{x^2} - m = 0) có ba nghiệm phân biệt.

  • Giải bài 1.63 trang 36 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    Cho hàm số (y = frac{1}{3}{x^3} + left( {m - 1} right){x^2} + left( {2m - 3} right)x + frac{2}{3}). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi (m = 2). b) Tìm (m) để hàm số có hai điểm cực trị ({x_1}) và ({x_2}) thỏa mãn (x_1^2 + x_2^2 = 5). c) Tìm (m) để hàm số đồng biến trên (mathbb{R}). d) Tìm (m) để hàm số đồng biến trên khoảng (left( {1; + infty } right)).

Quảng cáo

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

close