Giải bài 1.45 trang 32 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Chứng tỏ rẳng một thùng hình trụ có thể tích (V) cố định cần ít vật liệu sản xuất nhất (tức là có diện tích bề mặt nhỏ nhất) khi chiều cao của thùng gấp đôi bán kính đáy.

Quảng cáo

Đề bài

Chứng tỏ rẳng một thùng hình trụ có thể tích \(V\) cố định cần ít vật liệu sản xuất nhất (tức là có diện tích bề mặt nhỏ nhất) khi chiều cao của thùng gấp đôi bán kính đáy.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Đặt độ dài đáy của thùng là \(r\).

+ Biểu diễn chiều cao theo \(r\), từ đó thu được công thức diện tích của thùng \(S\).

+ Tìm giá trị nhỏ nhất của \(S\).

Lời giải chi tiết

Gọi bán kính đáy của thùng hình trụ là \(r\), \(r > 0\). Khi đó diện tích một đáy hình trụ là \(\pi {r^2}\).

Suy ra chiều cao của hình trụ là \(\frac{V}{{\pi {r^2}}}\).

Do đó diện tích bề mặt hình trụ là \(S = 2\pi {r^2} + 2\pi r\frac{V}{{\pi {r^2}}} = 2\pi {r^2} + \frac{{2V}}{r}\)

Xét hàm số  \(S = 2\pi {r^2} + \frac{{2V}}{r},r > 0\). Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm \(S\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Ta có \(S' = 4\pi r - \frac{{2V}}{{{r^2}}} = \frac{{4\pi {r^3} - 2V}}{{{r^2}}}\) khi đó \(S' = 0 \Leftrightarrow \frac{{4\pi {r^3} - 2V}}{{{r^2}}} = 0 \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\).

Lập bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra \(S\) đạt giá trị lớn nhất khi \(r = \sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\), ta thấy chiều cao hình trụ khi đó là \(\frac{V}{{\pi {r^2}}} = \frac{V}{{\pi {{\left( {\sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}} \right)}^2}}} = \frac{V}{{\left( {\pi  \cdot \frac{{{V^{\frac{2}{3}}}}}{{{{\left( {2\pi } \right)}^{\frac{2}{3}}}}}} \right)}} = \frac{V}{{\frac{{\sqrt[3]{\pi }}}{{\sqrt[3]{4}}} \cdot {V^{\frac{2}{3}}}}} = \frac{{\sqrt[3]{V} \cdot \sqrt[3]{4}}}{{\sqrt[3]{\pi }}} = \frac{{2\sqrt[3]{V}}}{{\sqrt[3]{{2\pi }}}} = 2r\).

Vậy để vật liệu sản xuất thùng ít nhất thì chiều cao gấp đôi bán kính đáy (điều phải chứng minh).

  • Giải bài 1.46 trang 32 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    Ở ({0^ circ }C), sự mất nhiệt (H) (tính bằng Kcal/m2h, ở đây Kcal là kilocalories và 1 Kcal=1000 calo) từ cơ thể của một người có thể được mô hình hóa bằng công thức (H = 33left( {10sqrt v - v + 10,45} right),) Trong đó (v) là tốc độ gió (tính bằng m/s) (Theo sách Brief Calculus: An Applied Approach, 8th edition, Cengage Learning, 2009). a) Xét tính đơn điệu của hàm số (H) và giải thích ý nghĩa thực tiễn của kết quả nhận được. b) Tìm tốc độ thay đổi của (H) khi (v = 2) m/

  • Giải bài 1.47 trang 32 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    Doanh thu (R) (USD) từ vệc cho thuê (x) căn hộ có thể được mô hình hóa bằng hàm số (R = 2xleft( {900 + 32x - {x^2}} right)). a) Tìm hàm doanh thu biên. b) Tìm doanh thu biên khi (x = 14) và giải thích ý nghĩa thực tiễn của nó. c) Tìm lượng doanh thu tăng thêm khi số căn hộ cho thuê tăng từ (14) lên (15).

  • Giải bài 1.48 trang 32 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    Một công ty ước tính rằng chi phí (C) (USD) để sản xuất (x) đơn vị sản phẩm có thể được mô hình hóa bằng công thức (C = 800 + 0,04x + 0,0002{x^2}). Tìm mức sản xuất sao cho chi phí trung bình (overline C left( x right) = frac{{Cleft( x right)}}{x}) cho mỗi đơn vị hàng hóa là nhỏ nhất.

  • Giải bài 1.49 trang 32 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    a) Nếu \(C\left( x \right)\) (USD) là chi phí sản xuất \(x\) đơn vị hàng hóa, thì chi phí trung bình cho mỗi đơn vị là \(\overline C \left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x}\). Chứng minh rằng nếu chi phí trung bình là nhỏ nhất thì chi phí biên bằng chi phí trung bình. b) Nếu \(C\left( x \right) = 16000 + 200x + 4{x^{\frac{3}{2}}}\), hãy tìm: (i) Chi phí, chi phí trung bình và chi phí biên khi sản xuất \(100\) đơn vị hàng hóa; (ii) Mức sản xuất mà khi đó sẽ giảm thiểu chi phí trung bì

  • Giải bài 1.50 trang 33 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    a) Chứng tỏ rằng nếu lợi nhuận (Pleft( x right)) là cực đại thì doanh thu biên bằng chi phí biên. b) Cho (Cleft( x right) = 16000 + 500x - 1,6{x^2} + 0,004{x^3}) là hàm chi phí và (pleft( x right) = 1700 - 7x) là hàm cầu. Hãy tìm mức sản xuất sẽ tối đa lợi nhuận.

Quảng cáo

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

close