Giải bài 1.38 trang 26 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho điểm \(A\left( {3;2} \right)\) trên mặt phẳng tọa độ. Một đường thẳng đi qua \(A\) cắt trục hoành tại \(B\), cắt trục tung tại \(C\) tạo thành một tam giác \(OBC\) nằm trong góc phần tư thứ nhất, với \(O\) là gốc tọa độ.

a) Biết hoành độ điểm \(B\) là \(x = t\) với \(t > 3\). Tính diện tích tam giác \(OBC\) theo \(t\). Kí hiệu diện tích này là \(S\left( t \right)\).

b) Khảo sát sự biến thiên của hàm số \(S\left( t \right)\).

c) Tìm vị trí điểm \(B\) để diện tích tam giác \(OBC\) nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng đi qua \(A\) và \(B\) có phương trình \(\frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{x - 3}}{{t - 3}}\) hay \(y = 2 - \frac{2}{{t - 3}}\left( {x - 3} \right)\).

Suy ra \(C\) có tung độ là \({y_C} = 2 - \frac{2}{{t - 3}}\left( {0 - 3} \right) = 2 + \frac{6}{{t - 3}}\).

Diện tích tam giác \(OBC\) là \(S\left( t \right) = t \cdot {y_C} = \frac{{2{t^2}}}{{t - 3}}\).

b) Xét hàm số \(S\left( t \right) = \frac{{2{t^2}}}{{t - 3}}\).

Tập xác định: \(\left( {3; + \infty } \right)\).

Sự biến thiên: \(S'\left( t \right) = {\left( {\frac{{2{t^2}}}{{t - 3}}} \right)^\prime } = \frac{{2{t^2} - 12t}}{{{{\left( {t - 3} \right)}^2}}}\).

Khi đó \(S'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{2{t^2} - 12t}}{{{{\left( {t - 3} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow 2{t^2} - 12t = 0 \Leftrightarrow t = 6\) do \(t > 3\).

+ Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {6; + \infty } \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( {3;6} \right)\).

+ Hàm số đạt cực tiểu tại \(t = 6\) với \({S_{CT}} = 24\).

+ Giới hạn tại vô cực \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) =  + \infty \)

+ Bảng biến thiên:

c) Để diện tích tam giác \(OBC\) nhỏ nhất thì \(S\left( t \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Từ bảng biến thiên suy ra, giá trị nhỏ nhất của tam giác \(OBC\) là \(24\) khi \(t = 6\) khi đó \(B\left( {0;6} \right)\)