Giải bài 1.19 trang 16 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một vật được phóng lên trời theo một góc xiên \(\theta \left( {{{45}^ \circ } < \theta  < {{90}^ \circ }} \right)\) so với phương ngang với vận tốc ban đầu là \({v_0}\) (feet/giây) tính từ chân mặt phẳng nghiêng tạo một góc \({45^ \circ }\) so với phương ngang (xem hình vẽ). Nếu bỏ qua sức cản của không khí thì quãng đường R (tính bằng feet, 1 feet=0,3048 m) mà vật di chuyển lên mặt phẳng nghiêng được cho bởi hàm số

\(R\left( \theta  \right) = \frac{{v_0^2\sqrt 2 }}{{16}}\cos \theta \left( {\sin \theta  - \cos \theta } \right)\)

Góc ném \(\theta \) nào làm cho quãng đường R lớn nhất? Giá trị lớn nhất của R là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Xét hàm số \(R\left( \theta  \right) = \frac{{v_0^2\sqrt 2 }}{{16}}\cos \theta \left( {\sin \theta  - \cos \theta } \right)\). Ta cần tìm \(\theta \) để hàm số đạt giá trị lớn nhất.

Ta có \(R\left( \theta  \right) = \frac{{v_0^2\sqrt 2 }}{{16}}\left( {\cos \theta \sin \theta  - {{\cos }^2}\theta } \right) = \frac{{v_0^2\sqrt 2 }}{{32}}\left( {2\cos \theta \sin \theta  - 2{{\cos }^2}\theta } \right)\)

\( = \frac{{v_0^2\sqrt 2 }}{{32}}\left( {\sin 2\theta  - \cos 2\theta  - 1} \right)\), \(\left( {{{45}^ \circ } < \theta  < {{90}^ \circ }} \right)\). Do đó \(R' = \frac{{v_0^2\sqrt 2 }}{{16}}\left( {\cos 2\theta  + \sin 2\theta } \right)\).

Khi đó \(R' = 0 \Leftrightarrow \frac{{v_0^2\sqrt 2 }}{{16}}\left( {\cos 2\theta  + \sin 2\theta } \right) = 0 \Leftrightarrow \cos 2\theta  + \sin 2\theta  = 0 \Leftrightarrow 2\theta  = {135^ \circ } \Leftrightarrow \theta  = {67,5^ \circ }\)

(do \({45^ \circ } < \theta  < {90^ \circ }\)). Mặt khác \(R\left( {{{45}^ \circ }} \right) = \frac{{v_0^2\sqrt 2 }}{{16}}\cos {45^ \circ }\left( {\sin {{45}^ \circ } - \cos {{45}^ \circ }} \right) = 0\);  \(R\left( {{{67,5}^ \circ }} \right) = \frac{{v_0^2\sqrt 2 }}{{16}}\cos {67,5^ \circ }\left( {\sin {{67,5}^ \circ } - \cos {{67,5}^ \circ }} \right) = \frac{{v_0^2\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}{{32}}\); \(R\left( {{{90}^ \circ }} \right) = \frac{{v_0^2\sqrt 2 }}{{16}}\cos {90^ \circ }\left( {\sin {{90}^ \circ } - \cos {{90}^ \circ }} \right) = 0\).

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(67,5\): \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {45;90} \right]} R = R\left( {67,5} \right) = \frac{{v_0^2\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}{{32}}.\)

Vậy khi góc ném \(\theta  = {67,5^ \circ }\) thì quãng đường R là lớn nhất và bằng \(\frac{{v_0^2\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}{{32}}\) feet.