Giải bài 1.17 trang 15 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Giả sử một chiếc xe tải khi di chuyển với tốc độ \(x\) dặm/giờ sẽ tiêu thụ nhiên liệu ở mức \(\frac{1}{{200}}\left( {\frac{{2500}}{x} + x} \right)\) gallon/dặm. Nếu giá nhiên liệu là \(3,6\) USD/gallon thì chi phí nhiên liệu \(C\) (tính bằng USD) khi lái xe \(200\) dặm với tốc độ \(x\) dặm/giờ được cho bởi công thức

\(C = C\left( x \right) = 3,6 \cdot \left( {\frac{{2500}}{x} + x} \right)\).

Ở đây, dặm và gallon, là những đơn vị đo lường phổ biến của Mỹ. Biết rằng tốc độ (dặm/giờ) của xe tải trên một chuyến đường cao tốc bị hạn chế trong khoảng \(\left[ {10;75} \right]\). Hỏi:

a) Lái xe ở tốc độ nào thì chi phí nhiên liệu sẽ ít nhất?

b) Nếu người lái xe tải được trả lương \(28\) USD/giờ và tiền lương được cộng vào chi phí nhiên liệu thì tốc độ di chuyển của xe tải là bao nhiêu để chi phí tiết kiệm nhất (tức là tổng chi phí mà công ty phải trả cho lái xe và chi phí nhiên liệu là nhỏ nhất)?

Lời giải chi tiết

a) Xét hàm số \(C\left( x \right) = 3,6 \cdot \left( {\frac{{2500}}{x} + x} \right)\) với \(x \in \left[ {10;75} \right]\), ta cần tìm \(x\) để \(C\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất. Ta có \(C' = 3,6\left( { - \frac{{2500}}{{{x^2}}} + 1} \right)\).

Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow 3,6\left( { - \frac{{2500}}{{{x^2}}} + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow  - 2500 + {x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 50\) (vì \(x \in \left[ {10;75} \right]\)).

Ta có: \(C\left( {10} \right) = 3,6 \cdot \left( {\frac{{2500}}{{10}} + 10} \right) = 3,6 \cdot 260 = 936\); \(C\left( {50} \right) = 3,6 \cdot \left( {\frac{{2500}}{{50}} + 50} \right) = 3,6 \cdot 100 = 360\);

\(C\left( {75} \right) = 3,6 \cdot \left( {\frac{{2500}}{{75}} + 75} \right) = 390\). Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {10;75} \right]} C\left( x \right) = C\left( {50} \right) = 360\) hay \(x = 50\) thì \(C\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất. Vậy xe tải di chuyển với tốc độ \(50\) dặm/giờ thì chi phí nhiên liệu sẽ ít nhất.

b) Giả sử \(s\)(dặm) là quãng đường di chuyển của xe. Khi đó số tiền mà công ty phải trả cho người lái xe khi di chuyển trên quãng đường này là \(28 \cdot \frac{s}{x}\) USD.

Chi phí nhiên liệu trên \(s\)(dặm) là \(\frac{s}{{200}}\left( {\frac{{2500}}{x} + x} \right)\) USD.

Suy ra tổng chi phí \(D\left( x \right)\) khi lái xe \(s\)(dặm) là:

\(D\left( x \right) = 28 \cdot \frac{s}{x} + \)\(\frac{s}{{200}}\left( {\frac{{2500}}{x} + x} \right) = s\left( {\frac{{81}}{{2x}} + \frac{x}{{200}}} \right)\) USD.

Ta có \(D'\left( x \right) = s\left( { - \frac{{81}}{{2{x^2}}} + \frac{1}{{200}}} \right) < 0{\rm{ }}\forall {\rm{x}} \in \left[ {10;75} \right]\) suy ra hàm số nghịch biến trên \(\left[ {10;75} \right]\).

Do đó, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn này khi \(x\) lớn nhất hay \(x = 75\).

Vậy xe tải di chuyển với vận tốc \(75\) dặm/giờ thì sẽ tiết kiệm chi phí nhất.