Giải bài 10 trang 70 vở thực hành Toán 9

Đề bài

Cho biểu thức: \(A = \frac{2}{{\sqrt x }} - \frac{{10 - 8\sqrt x }}{{x + 5\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 5}}\) với \(x > 0\).

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Chứng tỏ rằng giá trị của biểu thức A nhỏ hơn 2.

Lời giải chi tiết

a) Sử dụng tính chất giao hoán và tính chất kết hợp của phép cộng ta có:

\(A = \left( {\frac{2}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 5}}} \right) - \frac{{10 - 8\sqrt x }}{{x + 5\sqrt x }}\)

\( = \frac{{2\left( {\sqrt x  + 5} \right) + \sqrt x .\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 5} \right)}} - \frac{{10 - 8\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 5} \right)}}\)

\( = \frac{{2\sqrt x  + 10 + x - 10 + 8\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 5} \right)}} = \frac{{10\sqrt x  + x}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 5} \right)}} = \frac{{\sqrt x  + 10}}{{\sqrt x  + 5}}\)

b) Xét hiệu \(A - 2 = \frac{{\sqrt x  + 10}}{{\sqrt x  + 5}} - 2 = \frac{{\sqrt x  + 10 - 2\sqrt x  - 10}}{{\sqrt x  + 5}} = \frac{{ - \sqrt x }}{{\sqrt x  + 5}}\)

Với \(x > 0\) thì \(A - 2 = \frac{{ - \sqrt x }}{{\sqrt x  + 5}} < 0\) với mọi \(x > 0\) nên giá trị của biểu thức A nhỏ hơn 2 với \(x > 0\).