Giải bài 1 trang 38 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2Cho hàm số (y = sqrt[3]{x}). Chứng minh rằng (y'left( x right) = frac{1}{{3sqrt[3]{{{x^2}}}}}left( {x ne 0} right)). Quảng cáo
Đề bài Cho hàm số \(y = \sqrt[3]{x}\). Chứng minh rằng \(y'\left( x \right) = \frac{1}{{3\sqrt[3]{{{x^2}}}}}\left( {x \ne 0} \right)\). Phương pháp giải - Xem chi tiết Sử dụng kiến thức về định nghĩa đạo hàm để chứng minh: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) và \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại \({x_0}\), kí hiệu là \(f'\left( {{x_0}} \right)\) hoặc \(y'\left( {{x_0}} \right)\). Vậy \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) Lời giải chi tiết Với bất kì \({x_0} \ne 0\) ta có: \(y'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{y\left( x \right) - y\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{{{x_0}}}}}{{x - {x_0}}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{{{x_0}}}} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{x}} \right)}^2} + \sqrt[3]{x}\sqrt[3]{{{x_0}}} + {{\left( {\sqrt[3]{{{x_0}}}} \right)}^2}} \right]}}{{\left( {x - {x_0}} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{x}} \right)}^2} + \sqrt[3]{x}\sqrt[3]{{{x_0}}} + {{\left( {\sqrt[3]{{{x_0}}}} \right)}^2}} \right]}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {x - {x_0}} \right)}}{{\left( {x - {x_0}} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{x}} \right)}^2} + \sqrt[3]{x}\sqrt[3]{{{x_0}}} + {{\left( {\sqrt[3]{{{x_0}}}} \right)}^2}} \right]}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{1}{{{{\left( {\sqrt[3]{x}} \right)}^2} + \sqrt[3]{x}\sqrt[3]{{{x_0}}} + {{\left( {\sqrt[3]{{{x_0}}}} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\sqrt[3]{{{x_0}}}} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt[3]{{{x_0}}}} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt[3]{{{x_0}}}} \right)}^2}}} = \frac{1}{{3\sqrt[3]{{x_0^2}}}}\) Vậy \(y'\left( x \right) = \frac{1}{{3\sqrt[3]{{{x^2}}}}}\left( {x \ne 0} \right)\)  Chia sẻ Bình luận
Quảng cáo
Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
|
