50 bài tập đạo hàm của hàm số lượng giácLàm bàiQuảng cáo
Câu hỏi 1 : Tính đạo hàm của hàm số \(f(x) = \sin 2x - {\cos ^2}3x\).
Đáp án: A Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: Phương pháp: Sử dụng công thức đạo hàm hợp Cách giải: \(f'\left( x \right) = 2\cos 2x + 3\sin 3x.2\cos 3x = 2\cos 2x + 3\sin 6x\) Chọn đáp án A Câu hỏi 2 : Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\cos ^2}3x\). Tìm \(f'\left( x \right)\)
Đáp án: C Phương pháp giải: Áp dụng quy tắc tính đạo hàm Lời giải chi tiết: Ta có: \(f\left( x \right) = {\cos ^2}3x \Rightarrow f'\left( x \right) = - 6\sin 3x\cos 3x = - 3\sin 6x\) Chọn C. Câu hỏi 3 : Tính đạo hàm của hàm số \(y=\cos 4x-3\sin 4x.\)
Đáp án: C Phương pháp giải: +) Sử dụng công thức đạo hàm của hàm hợp \(\left( \cos u\left( x \right) \right)'=-u'\left( x \right)\sin u\left( x \right)\) và \(\left( sinu\left( x \right) \right)'=u'\left( x \right)\cos u\left( x \right)\). Lời giải chi tiết: Ta có: \(y'=\left( \cos 4x-3\sin 4x \right)'=-4sin4x-12cos4x.\) Chọn C. Câu hỏi 4 : Hàm số \(y={{x}^{2}}.\cos x\) có đạo hàm là:
Đáp án: C Phương pháp giải: +) Sử dụng công thức tính đạo hàm: \(\left[ f\left( x \right).g\left( x \right) \right]'=f'\left( x \right)g\left( x \right)+f\left( x \right)g'\left( x \right)\) và các công thức đạo hàm cơ bản của hàm số để tính. Lời giải chi tiết: Ta có: \(y'=\left( {{x}^{2}}\cos x \right)'=2x\cos x-{{x}^{2}}\sin x.\) Chọn C. Câu hỏi 5 : Hàm số \(f\left( x \right) = \sin 3x\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) là:
Đáp án: B Phương pháp giải:
Sử dụng công thức đạo hàm cơ bản: \(\left( {\sin ax} \right)' = a\,cos\,ax.\) Lời giải chi tiết:
Ta có: \(f'\left( x \right) = \left( {\sin 3x} \right)' = 3\cos 3x.\) Chọn B. Câu hỏi 6 : Cho hàm số \(y=\cos 3x.\sin 2x\). Tính \(y'\left( \frac{\pi }{3} \right)\) bằng:
Đáp án: D Phương pháp giải: Sử dụng quy tắc tính đạo hàm của một tích: \(\left( uv \right)'=u'v+uv'\) Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}y' = \left( {\cos 3x} \right)'.\sin 2x + \cos 3x\left( {\sin 2x} \right)' = - \sin 3x.\left( {3x} \right)'.\sin 2x + \cos 3x.\cos 2x\left( {2x} \right)'\\= - 3\sin 3x\sin 2x + 2\cos 3x\cos 2x\\ \Rightarrow y'\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = - 3\sin \pi .\sin \frac{{2\pi }}{3} + 2\cos \pi .\cos \frac{{2\pi }}{3} = - 2.\left( { - \frac{1}{2}} \right) = 1\end{array}\) Chọn D. Câu hỏi 7 : Tính đạo hàm \(y'\) của hàm số \(y=\sin x+\cos x\)
Đáp án: D Phương pháp giải: Dựa vào bảng đạo hàm cơ bản. Lời giải chi tiết: \(y'=\cos x-\sin x\) Chọn D. Câu hỏi 8 : Cho hàm số \(f\left( x \right)=\text{cos}2x.\) Tính \(P={f}''\left( \pi \right).\)
Đáp án: C Phương pháp giải: Dựa vào công thức tính đạo hàm của hàm số lượng giác : \(\left( \cos u \right)'=-u'\sin u;\ \ \left( \sin u \right)'=u'\cos u.\) Lời giải chi tiết: Ta có \({f}'\left( x \right)=-\,2\sin 2x\Rightarrow {f}''\left( x \right)=-\,4\cos 2x\Rightarrow P={f}''\left( \pi \right)=-\,4.\) Chọn C Câu hỏi 9 : Xét hàm số \(f\left( x \right)=\tan \left( x-\frac{2\pi }{3} \right)\). Giá trị của \(f'\left( 0 \right)\) bằng:
Đáp án: A Phương pháp giải: Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp: \(\left( \tan u \right)'=\frac{u'}{{{\cos }^{2}}u}\) Lời giải chi tiết: Ta có: \(\begin{array}{l}y' = \frac{{\left( {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right)'}}{{{{\cos }^2}\left( {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right)}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\left( {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right)}}\\ \Rightarrow y'\left( 0 \right) = \frac{1}{{{{\cos }^2}\left( { - \frac{{2\pi }}{3}} \right)}} = 4\end{array}\) Chọn A. Câu hỏi 10 : Đạo hàm của hàm số \(y = \cos 2x + 1\) là
Đáp án: D Phương pháp giải: \(\left( {\cos kx} \right)' = - k\sin kx\) Lời giải chi tiết: \(y' = \left( {\cos 2x + 1} \right)' = - 2\sin 2x\) Chọn D. Câu hỏi 11 : Đạo hàm của hàm số \(y = \sin \left( {2x} \right) - 2\cos x\) là
Đáp án: D Phương pháp giải: Sử dụng các công thức tính đạo hàm: \(\left( {\sin x} \right)' = \cos x,\,\,\left( {\cos x} \right)' = - \sin x\). Lời giải chi tiết: Ta có: \(y' = 2\cos 2x + 2\sin x\). Chọn D. Câu hỏi 12 : Đạo hàm của hàm số \(y = \cos x\) là:
Đáp án: D Phương pháp giải: Sử dụng công thức tính đạo hàm \(\left( {\cos x} \right)' = - \sin x\). Lời giải chi tiết: Ta có: \(\left( {\cos x} \right)' = - \sin x\). Chọn D. Câu hỏi 13 : Đạo hàm của hàm số \(y={{\cos }^{2}}\left( {{\sin }^{3}}x \right)\) là biểu thức nào sau đây?
Đáp án: D Phương pháp giải: +) Sử dụng công thức hạ bậc \({{\cos }^{2}}x=\frac{1+\cos 2x}{2}\) +) Sử dụng công thức tính đạo hàm hàm số hợp. Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}y = \frac{{1 + \cos \left( {2{{\sin }^3}x} \right)}}{2}\\ \Rightarrow y' = \frac{1}{2}.\left( { - \sin \left( {2{{\sin }^3}x} \right)} \right).\left( {2{{\sin }^3}x} \right)'\\ = \frac{{ - 1}}{2}\sin \left( {2{{\sin }^3}x} \right).2.3{\sin ^2}x\left( {\sin x} \right)'\\ = - 3\sin \left( {2{{\sin }^3}x} \right).{\sin ^2}x.\cos x\end{array}\) Chọn D. Câu hỏi 14 : Đạo hàm của hàm số \(y=\sqrt{\cot x}\) là:
Đáp án: B Phương pháp giải: Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp \(\left( \sqrt{u} \right)'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}\) Lời giải chi tiết: \(y'=\frac{\left( \cot x \right)'}{2\sqrt{\cot x}}=\frac{-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}}{2\sqrt{\cot x}}=\frac{-1}{{{\sin }^{2}}x\sqrt{\cot x}}\) Chọn B. Câu hỏi 15 : Đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt {1 + 2\tan x} \) là:
Đáp án: A Phương pháp giải: Sử dụng công thức tính đạo hàm hàm số hợp: \(\left( {\sqrt u } \right)' = {{u'} \over {2\sqrt u }}\). Lời giải chi tiết: Ta có: \(y' = {{\left( {1 + 2\tan x} \right)'} \over {2\sqrt {1 + 2\tan x} }} = {{{2 \over {{{\cos }^2}x}}} \over {2\sqrt {1 + 2\tan x} }} = {1 \over {{{\cos }^2}x\sqrt {1 + 2\tan x} }}\) Chọn A. Câu hỏi 16 : Tính đạo hàm của hàm số \(y = {\sin ^2}3x\).
Đáp án: D Phương pháp giải: Công thức đạo hàm hàm hợp: \(y = f\left( {u(x)} \right)\,\, \Rightarrow \,\,y' = f'\left( {u(x)} \right).u'(x)\). Lời giải chi tiết: \(y = {\sin ^2}3x \Rightarrow y' = 2.\sin 3x.\left( {\sin 3x} \right)' = 2.\sin 3x.3.\cos 3x = 3\sin 6x\) Chọn: D Câu hỏi 17 : Đạo hàm của hàm số \(y = \sin \left( {\dfrac{{3\pi }}{2} - 4x} \right)\) là:
Đáp án: C Phương pháp giải: Sử dụng công thức \(\left[ {\sin f\left( x \right)} \right]' = f'\left( x \right)\cos f\left( x \right)\). Lời giải chi tiết: Ta có : \(\begin{array}{l}\left[ {\sin \left( {\dfrac{{3\pi }}{2} - 4x} \right)} \right]' = \left( {\dfrac{{3\pi }}{2} - 4x} \right)'\cos \left( {\dfrac{{3\pi }}{2} - 4x} \right) = - 4\cos \left( {\dfrac{{3\pi }}{2} - 4x} \right)\\ = - 4\cos \left( {\pi + \dfrac{\pi }{2} - 4x} \right) = - 4\left[ { - \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - 4x} \right)} \right] = - 4\left( { - \sin 4x} \right) = 4\sin 4x\end{array}\) Chọn C. Câu hỏi 18 : Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\cos ^2}\left( {2x} \right)\). Tính \(f'\left( {\dfrac{\pi }{8}} \right)\).
Đáp án: D Phương pháp giải: Sử dụng các công thức tính đạo hàm hàm hợp: \(\left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}.u',\,\,\left[ {\cos \left( {kx} \right)} \right]' = - k\sin kx\). Lời giải chi tiết: Ta có: \(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 2\cos \left( {2x} \right)\left( {\cos \left( {2x} \right)} \right)' = 2\cos \left( {2x} \right)\left( { - 2\sin 2x} \right) = - 2\sin 4x\\ \Rightarrow f'\left( {\dfrac{\pi }{8}} \right) = - 2\sin \dfrac{\pi }{2} = - 2\end{array}\) Chọn D. Câu hỏi 19 : Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x - \sin 3x}}{x}\) bằng :
Đáp án: C Phương pháp giải: Sử dụng giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} = 1\). Lời giải chi tiết: Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x - \sin 3x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin 3x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{3.\sin 3x}}{{3x}} = 1 - 3 = - 2\). Chọn C. Câu hỏi 20 : Với \(x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\), hàm số \(y = 2\sqrt {\sin x} - 2\sqrt {\cos x} \) có đạo hàm là:
Đáp án: D Phương pháp giải: Đạo hàm: \(\left( {\sqrt {u\left( x \right)} } \right)' = \dfrac{{\left( {u\left( x \right)} \right)'}}{{2\sqrt {u\left( x \right)} }}\). Lời giải chi tiết: \(y' = \dfrac{{2\left( {\sin \,x} \right)'}}{{2\sqrt {\sin x} }} - \dfrac{{2\left( {\cos x} \right)'}}{{2\sqrt {\cos x} }} = \dfrac{{\cos x}}{{\sqrt {\sin x} }} + \dfrac{{\sin x}}{{\sqrt {\cos x} }}\). Chọn: D Câu hỏi 21 : Tính đạo hàm của các hàm số sau: Câu 1: \(y = \tan x - 2{x^3}\)
Đáp án: C Phương pháp giải: Sử dụng các công thức tính đạo hàm cơ bản và đạo hàm của hàm hợp. Lời giải chi tiết: \(y' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 6{x^2}\) Câu 2: \(y = x.\sin x + \sqrt {1 + {{\cos }^2}2x} \)
Đáp án: A Phương pháp giải: Sử dụng các công thức tính đạo hàm cơ bản và đạo hàm của hàm hợp. Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}y' = \sin x + x\cos x + \dfrac{{2\cos 2x.\left( { - 2\sin 2x} \right)}}{{2\sqrt {1 + {{\cos }^2}2x} }}\\\,\,\,\,\,\, = \sin x + x\cos x + \dfrac{{ - \sin 4x}}{{\sqrt {1 + {{\cos }^2}2x} }}\end{array}\) Câu hỏi 22 : Hàm số \(y = \tan x - \cot x + \cos \dfrac{x}{5}\) có đạo hàm bằng:
Đáp án: B Phương pháp giải: Sử dụng các công thức tính đạo hàm
\(\begin{array}{l}\left( {\tan x} \right)' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}},\,\,\left( {\cot x} \right)' = - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}},\,\,\\\left( {\sin kx} \right)' = k\cos kx,\,\,\left( {\cos kx} \right)' = - k\sin kx\end{array}\) Lời giải chi tiết: \(y' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} - \dfrac{1}{5}\sin \dfrac{x}{5}\). Chọn B. Câu hỏi 23 : Đạo hàm của hàm số \(y = \tan 3x\) bằng:
Đáp án: C Phương pháp giải: Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản: \(\left( {\tan x} \right)' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\). Lời giải chi tiết: Ta có \(y' = \left( {\tan 3x} \right)' = \dfrac{{\left( {3x} \right)'}}{{{{\cos }^2}3x}} = \dfrac{3}{{{{\cos }^2}3x}}\). Chọn C. Câu hỏi 24 : Đạo hàm của hàm số \(y = \sin 2x\) bằng
Đáp án: B Phương pháp giải: Sử dụng công thức \(\left( {\sin kx} \right)' = k\cos kx\). Lời giải chi tiết: \(y' = \left( {\sin 2x} \right)' = 2\cos 2x\). Chọn B. Câu hỏi 25 : Cho hàm số \(f\left( x \right)=\sin 2x.\) Tính \({f}'\left( \frac{\pi }{6} \right).\)
Đáp án: D Phương pháp giải: Tính đạo hàm của hàm số lượng giác cơ bản. Lời giải chi tiết: Ta có \(f\left( x \right)=\sin 2x\Rightarrow {f}'\left( x \right)=2\cos 2x\Rightarrow {f}'\left( \frac{\pi }{6} \right)=2.\cos \frac{\pi }{3}=1.\) Chọn D Câu hỏi 26 : Đạo hàm của hàm số \(y = {\tan ^2}x - co{t^2}x\) là:
Đáp án: A Phương pháp giải: Sử dụng hằng đẳng thức \({a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)\), sau đó áp dụng quy tắc tính đạo hàm của 1 tích: \(\left( {uv} \right)' = u'v + uv'\) Lời giải chi tiết: \(\eqalign{ & y = {\tan ^2}x - co{t^2}x = \left( {\tan x - \cot x} \right)\left( {\tan x + \cot x} \right) \cr & y' = \left( {\tan x - \cot x} \right)'\left( {\tan x + \cot x} \right) + \left( {\tan x - \cot x} \right)\left( {\tan x + \cot x} \right)' \cr & y' = \left( {{1 \over {{{\cos }^2}x}} + {1 \over {{{\sin }^2}x}}} \right)\left( {\tan x + \cot x} \right) + \left( {\tan x - \cot x} \right)\left( {{1 \over {{{\cos }^2}x}} - {1 \over {{{\sin }^2}x}}} \right) \cr & y' = {{\tan x} \over {{{\cos }^2}x}} + {{\cot x} \over {{{\cos }^2}x}} + {{\tan x} \over {{{\sin }^2}x}} + {{\cot x} \over {{{\sin }^2}x}} + {{\tan x} \over {{{\cos }^2}x}} - {{\tan x} \over {{{\sin }^2}x}} - {{\cot x} \over {{{\cos }^2}x}} + {{\cot x} \over {{{\sin }^2}x}} \cr & y' = 2{{\tan x} \over {{{\cos }^2}x}} + 2{{\cot x} \over {{{\sin }^2}x}} \cr} \) Chọn A. Câu hỏi 27 : Cho hàm số \(f\left( x \right) = \tan \left( {x - {{2\pi } \over 3}} \right)\). Giá trị \(f'\left( 0 \right)\) bằng:
Đáp án: B Phương pháp giải: Sử dụng công thức \(\tan \left( {a - b} \right) = {{\tan a - \tan b} \over {1 + \tan a.\tan b}}\), sau đó áp dụng quy tắc tính đạo hàm của 1 thương: \(\left( {{u \over v}} \right)' = {{u'v - uv'} \over {{v^2}}}\) Lời giải chi tiết: \(\eqalign{ & f\left( x \right) = \tan \left( {x - {{2\pi } \over 3}} \right) = {{\tan x - \tan {{2\pi } \over 3}} \over {1 + \tan x.\tan {{2\pi } \over 3}}} = {{\tan x + \sqrt 3 } \over {1 - \sqrt 3 \tan x}} \cr & f'\left( x \right) = {{\left( {\tan x + \sqrt 3 } \right)'\left( {1 - \sqrt 3 \tan x} \right) - \left( {\tan x + \sqrt 3 } \right)\left( {1 - \sqrt 3 \tan x} \right)'} \over {{{\left( {1 - \sqrt 3 \tan x} \right)}^2}}} \cr & f'\left( x \right) = {{{1 \over {{{\cos }^2}x}}\left( {1 - \sqrt 3 \tan x} \right) - \left( {\tan x + \sqrt 3 } \right)\left( { - {{\sqrt 3 } \over {{{\cos }^2}x}}} \right)} \over {{{\left( {1 - \sqrt 3 \tan x} \right)}^2}}} \cr & f'\left( x \right) = {{{1 \over {{{\cos }^2}x}} = {{\sqrt 3 \tan x} \over {{{\cos }^2}x}} + {{\sqrt 3 \tan x} \over {{{\cos }^2}x}} + {3 \over {{{\cos }^2}x}}} \over {{{\left( {1 - \sqrt 3 \tan x} \right)}^2}}} \cr & f'\left( x \right) = {4 \over {{{\cos }^2}x{{\left( {1 - \sqrt 3 \tan x} \right)}^2}}} \cr & \Rightarrow f'\left( 0 \right) = {4 \over {1\left( {1 - \sqrt 3 .0} \right)}} = 4 \cr} \) Chọn B. Câu hỏi 28 : Hàm số \(y = {\tan ^2}{x \over 2}\) có đạo hàm là:
Đáp án: C Phương pháp giải: \({\tan ^2}{x \over 2} = {{{{\sin }^2}{x \over 2}} \over {{{\cos }^2}{x \over 2}}}\), sử dụng các công thức hạ bậc, sau đó áp dụng quy tắc tính đạo hàm của 1 thương: \(\left( {{u \over v}} \right)' = {{u'v - uv'} \over {{v^2}}}\) Lời giải chi tiết: \(\eqalign{ & {\tan ^2}{x \over 2} = {{{{\sin }^2}{x \over 2}} \over {{{\cos }^2}{x \over 2}}} = {{{{1 - \cos x} \over 2}} \over {{{1 + \cos x} \over 2}}} = {{1 - \cos x} \over {1 + \cos x}} \cr & \Rightarrow y' = {{\left( {1 - \cos x} \right)'\left( {1 + \cos x} \right) - \left( {1 - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right)'} \over {{{\left( {1 + \cos x} \right)}^2}}} \cr & y' = {{\sin x\left( {1 + \cos x} \right) - \left( {1 - \cos x} \right)\left( { - \sin x} \right)} \over {{{\left( {1 + \cos x} \right)}^2}}} \cr & y' = {{\sin x + \sin x\cos x + \sin x - \sin x\cos x} \over {{{\left( {1 + \cos x} \right)}^2}}} \cr & y' = {{2\sin x} \over {{{\left( {1 + \cos x} \right)}^2}}} \cr & y' = {{4\sin {x \over 2}\cos {x \over 2}} \over {{{\left( {2{{\cos }^2}{x \over 2}} \right)}^2}}} = {{\sin {x \over 2}} \over {{{\cos }^3}{x \over 2}}} \cr} \) Chọn C. Câu hỏi 29 : Xét hàm số \(f\left( x \right)=\sqrt[3]{\cos 2x}\). Chọn câu sai?
Đáp án: C Phương pháp giải: Xét tính đúng sai của từng đáp án, sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp \(\left( {{u}^{n}} \right)'=n{{u}^{n-1}}.u'\) Lời giải chi tiết: Đáp án A đúng vì \(f\left( \frac{\pi }{2} \right)=\sqrt[3]{\cos \pi }=-1\) Ta có: \(\begin{array}{l}f\left( x \right) = {\left( {\cos 2x} \right)^{\frac{1}{3}}}\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{1}{3}{\left( {\cos 2x} \right)^{\frac{1}{3} - 1}}.\left( {\cos 2x} \right)' = \frac{1}{3}{\left( {\cos 2x} \right)^{ - \frac{2}{3}}}.\left( { - \sin 2x} \right).\left( {2x} \right)' = \frac{{ - 2}}{3}.\frac{{\sin 2x}}{{\sqrt[3]{{{{\cos }^2}2x}}}}\end{array}\) \(\Rightarrow \) Đáp án B đúng. \(\Rightarrow f'\left( \frac{\pi }{2} \right)=\frac{-2}{3}.\frac{\sin \pi }{\sqrt[3]{{{\cos }^{2}}\pi }}=0\Rightarrow \) Đáp án C sai. Ta có thể thử nốt đáp án D : \(3{{f}^{2}}\left( x \right)f'\left( x \right)+2\sin 2x=3\sqrt[3]{{{\cos }^{2}}2x}.\frac{-2}{3}.\frac{\sin 2x}{\sqrt[3]{{{\cos }^{2}}2x}}+2\sin 2x=-2\sin 2x+2\sin 2x=0\Rightarrow \) D đúng. Chọn C. Câu hỏi 30 : Đạo hàm của hàm số \(y=-\frac{\cos x}{3{{\sin }^{3}}x}+\frac{4}{3}\cot x\) là biểu thức nào sau đây?
Đáp án: C Phương pháp giải: +) Sử dụng công thức \(\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}=1+{{\cot }^{2}}x\) +) Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm số hợp \(\left( {{u}^{n}} \right)'=n.{{u}^{n-1}}.u’\) Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}y = - \frac{{\cos x}}{{3{{\sin }^3}x}} + \frac{4}{3}\cot x\\y = - \frac{1}{3}\frac{{\cos x}}{{\sin x.{{\sin }^2}x}} + \frac{4}{3}\cot x\\y = - \frac{1}{3}\cot x\left( {1 + {{\cot }^2}x} \right) + \frac{4}{3}\cot x\\y = - \frac{1}{3}{\cot ^3}x + \cot x\\ \Rightarrow y' = - \frac{1}{3}.3{\cot ^2}x\left( {\cot x} \right)' + \left( {\cot x} \right)'\\y' = {\cot ^2}x.\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\\y' = {\cot ^2}x\left( {1 + {{\cot }^2}x} \right) - \left( {1 + {{\cot }^2}x} \right)\\y' = {\cot ^4}x - 1\end{array}\) Chọn C. Câu hỏi 31 : Đạo hàm của hàm số \(y={{\cot }^{2}}\left( \cos x \right)+\sqrt{\sin x-\frac{\pi }{2}}\) là biểu thức nào sau đây?
Đáp án: B Phương pháp giải: Sử dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp. Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}y' = 2\cot \left( {\cos x} \right).\left( {\cot \left( {\cos x} \right)} \right)' + \dfrac{{\left( {\sin x - \dfrac{\pi }{2}} \right)'}}{{2\sqrt {\sin x - \dfrac{\pi }{2}} }}\\y' = -2\cot \left( {\cos x} \right)\dfrac{{\left( {\cos x} \right)'}}{{{{\sin }^2}\left( {\cos x} \right)}} + \dfrac{{\cos x}}{{2\sqrt {\sin x - \dfrac{\pi }{2}} }}\\y' = 2\cot \left( {\cos x} \right)\dfrac{{\sin x}}{{{{\sin }^2}\left( {\cos x} \right)}} + \dfrac{{\cos x}}{{2\sqrt {\sin x - \dfrac{\pi }{2}} }}\end{array}\) Chọn B. Câu hỏi 32 : Cho hàm số \(y=\sin \left( {{\cos }^{2}}x \right).\cos \left( {{\sin }^{2}}x \right)\). Đạo hàm \(y'=a.\sin 2x.\cos \left( \cos 2x \right)\) . Giá trị của a là số nguyên thuộc khoảng nào sau đây?
Đáp án: C Phương pháp giải: Sử dụng quy tắc tính đạo hàm của một tích \(\left( uv \right)'=u'v+uv'\) Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}y' = \left[ {\sin \left( {{{\cos }^2}x} \right)} \right]'.\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right) + \sin \left( {{{\cos }^2}x} \right).\left[ {\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right)} \right]'\\y' = \cos \left( {{{\cos }^2}x} \right).\left( {{{\cos }^2}x} \right)'.\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right) - \sin \left( {{{\cos }^2}x} \right).\sin \left( {{{\sin }^2}x} \right).\left( {{{\sin }^2}x} \right)'\\y' = \cos \left( {{{\cos }^2}x} \right).2\cos x\left( {\cos x} \right)'.\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right) - \sin \left( {{{\cos }^2}x} \right).\sin \left( {{{\sin }^2}x} \right).2\sin x\left( {\sin x} \right)'\\y' = - \cos \left( {{{\cos }^2}x} \right).2\cos x.\sin x.\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right) - \sin \left( {{{\cos }^2}x} \right).\sin \left( {{{\sin }^2}x} \right).2\sin x.\cos x\\y' = - 2\sin x\cos x\left[ {\cos \left( {{{\cos }^2}x} \right).\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right) + \sin \left( {{{\cos }^2}x} \right).\sin \left( {{{\sin }^2}x} \right)} \right]\\y' = - \sin 2x.\cos \left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right)\\y' = - \sin 2x.\cos \left( {\cos 2x} \right)\\ \Rightarrow a = - 1 \in \left( { - 3;2} \right)\end{array}\) Chọn C. Câu hỏi 33 : Cho hàm số \(f\left( 2x \right)=4.\cos x.f\left( x \right)-2x\). Tính \(f'\left( 0 \right)\).
Đáp án: B Phương pháp giải: Sử dụng đạo hàm của hàm số hợp và các quy tắc tính đạo hàm tính đạo hàm của hàm số f(2x). Thay x = 0 và suy ra \(f'\left( 0 \right)\) Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}f'\left( {2x} \right).\left( {2x} \right)' = 4\left( {\cos x} \right)'.f\left( x \right) + 4\cos x.f'\left( x \right) - 2\\ \Rightarrow 2f'\left( {2x} \right) = - 4\sin x.f\left( x \right) + 4\cos x.f'\left( x \right) - 2\\ \Rightarrow 2f'\left( 0 \right) = 4.f'\left( 0 \right) - 2\\ \Leftrightarrow f'\left( 0 \right) = 1\end{array}\) Chọn B. Câu hỏi 34 : Đạo hàm bậc \(21\) của hàm số \(f\left( x \right) = \cos \left( {x + a} \right)\) là
Đáp án: D Phương pháp giải: Phương pháp: Chứng minh \({f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = f\left( x \right)\) Lời giải chi tiết: Cách giải \(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = - \sin \left( {x + a} \right)\\f''\left( x \right) = - \cos \left( {x + a} \right)\\{f^{\left( 3 \right)}}\left( x \right) = \sin \left( {x + a} \right)\\{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = \cos \left( {x + a} \right) = f\left( x \right)\\ \Rightarrow f\left( x \right) = {f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = {f^{\left( 8 \right)}}\left( x \right) = ... = {f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right){\rm{ }}\left( {n \in *} \right)\\ \Rightarrow {f^{\left( {20} \right)}}\left( x \right) = f\left( x \right) = \cos \left( {x + a} \right)\\ \Rightarrow {f^{\left( {21} \right)}}\left( x \right) = - \sin \left( {x + a} \right) = \cos \left( {x + a + \dfrac{\pi }{2}} \right)\end{array}\) Chọn đáp án D Câu hỏi 35 : Cho hàm số \(f\left( x \right)={{\cos }^{2}}\left( \frac{\pi }{3}-x \right)+{{\cos }^{2}}\left( \frac{\pi }{3}+x \right)+{{\cos }^{2}}\left( \frac{2\pi }{3}-x \right)+{{\cos }^{2}}\left( \frac{2\pi }{3}+x \right)-2{{\sin }^{2}}x\). Hàm số có f’(x) bằng:
Đáp án: C Phương pháp giải: +) Sử dung quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp \(\left( {{u}^{n}} \right)'=n.{{u}^{n-1}}.u'\) +) Sử dụng các công thức biến đổi tổng thành tích \(\sin a-\sin b=-2\cos \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}\) Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 2\cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right).\left( {\cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)} \right)' + 2\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right).\left( {\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)} \right)'\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + 2\cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} - x} \right).\left( {\cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} - x} \right)} \right)' + 2\cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} + x} \right).\left( {\cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} + x} \right)} \right)' - 4\sin x.\left( {\sin x} \right)'\\f'\left( x \right) = - 2\cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right).\sin \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)' - 2.\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right).\sin \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)'\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 2\cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} - x} \right).\sin \left( {\frac{{2\pi }}{3} - x} \right).\left( {\frac{{2\pi }}{3} - x} \right)' - 2\cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} + x} \right).\sin \left( {\frac{{2\pi }}{3} + x} \right).\left( {\frac{{2\pi }}{3} + x} \right)' - 4\sin x\cos x\\f'\left( x \right) = 2\sin \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right) - 2\sin \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + 2\sin \left( {\frac{{2\pi }}{3} - x} \right)\cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} - x} \right) - 2\sin \left( {\frac{{2\pi }}{3} + x} \right)\cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} + x} \right) - 2\sin 2x\\f'\left( x \right) = \sin \left( {\frac{{2\pi }}{3} - 2x} \right) - \sin \left( {\frac{{2\pi }}{3} + 2x} \right) + \sin \left( {\frac{{4\pi }}{3} - 2x} \right) - \sin \left( {\frac{{4\pi }}{3} + 2x} \right) - 2\sin 2x\\f'\left( x \right) = - 2\cos \frac{{2\pi }}{3}\sin 2x - 2\cos \frac{{4\pi }}{3}\sin 2x - 2\sin 2x\\f'\left( x \right) = \left( { - 2\cos \frac{{2\pi }}{3} - 2\cos \frac{{4\pi }}{3} - 2} \right)\sin 2x\\f'\left( x \right) = \left( { - 2.\left( { - \frac{1}{2}} \right) - 2\left( { - \frac{1}{2}} \right) - 2} \right)\sin 2x\\f'\left( x \right) = 0\end{array}\) Chọn C.
Câu hỏi 36 : Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \sin x\). Hãy chọn câu sai?
Đáp án: D Phương pháp giải: Tính đạo hàm từng cấp của hàm số đã cho. Lời giải chi tiết: \(\eqalign{ & y' = \cos x = \sin \left( {x + {\pi \over 2}} \right) \cr & y'' = - \sin x = \sin \left( {x + \pi } \right) \cr & y''' = - \cos x = \sin \left( {x + {{3\pi } \over 2}} \right) \cr & {y^{\left( 4 \right)}} = \sin x,\,\,\sin \left( {2\pi - x} \right) = \sin \left( { - x} \right) = - \sin x \Rightarrow {y^{\left( 4 \right)}} \ne \sin \left( {2\pi - x} \right) \cr} \) Chọn D. Câu hỏi 37 : Cho hàm số\(f\left( x \right)=\frac{\cos x}{\sqrt{\cos 2x}}\) . Biểu diễn nghiệm của phương trình lượng giác \(f'\left( x \right)=0\) trên đường tròn lượng giác ta được mấy điểm phân biệt?
Đáp án: B Phương pháp giải: Sử dụng quy tắc tính đạo hàm của 1 thương \(\left( \frac{u}{v} \right)'=\frac{u'v-uv'}{{{v}^{2}}}\) Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \frac{{\left( {\cos x} \right)'.\sqrt {\cos 2x} - \cos x.\left( {\sqrt {\cos 2x} } \right)'}}{{\cos 2x}}\\f'\left( x \right) = \frac{{ - \sin x.\sqrt {\cos 2x} - \cos x.\frac{{\left( {\cos 2x} \right)'}}{{2\sqrt {\cos 2x} }}}}{{\cos 2x}}\\f'\left( x \right) = \frac{{ - \sin x\sqrt {\cos 2x} - \cos x\frac{{ - \sin 2x.\left( {2x} \right)'}}{{2\sqrt {\cos 2x} }}}}{{\cos 2x}}\\f'\left( x \right) = \frac{{ - \sin x.\sqrt {\cos 2x} + \frac{{\sin 2x\cos x}}{{\sqrt {\cos 2x} }}}}{{\cos 2x}}\\f'\left( x \right) = \frac{{ - \sin x.\cos 2x + \sin 2x\cos x}}{{\cos 2x\sqrt {\cos 2x} }}\\f'\left( x \right) = \frac{{\sin \left( {2x - x} \right)}}{{\cos 2x\sqrt {\cos 2x} }}\\f'\left( x \right) = \frac{{\sin x}}{{\cos 2x\sqrt {\cos 2x} }}\end{array}\) Xét phương trình \(f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \frac{\sin x}{\cos 2x\sqrt{\cos 2x}}=0\,\,\,\left( 1 \right)\) ĐK: \(\cos 2x>0\) \(\left( 1 \right)\Leftrightarrow \sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi \,\,\left( k\in Z \right)\) TH1: \(k=2m\Leftrightarrow x=2m\pi \Rightarrow \cos 2x=\cos \left( 4m\pi \right)=1>0\,\,\left( tm \right)\) TH2: \(k=2m+1\Rightarrow x=\left( 2m+1 \right)\pi \Rightarrow \cos 2x=\cos \left( 2\left( 2m+1 \right)\pi \right)=\cos \left( 4m\pi +2\pi \right)=1>0\,\,\left( tm \right)\) Vậy có 2 điểm biểu diễn nghiệm của phương trình \(f'\left( x \right)=0\) trên đường tròn lượng giác. Chọn B. Câu hỏi 38 : Cho hàm số \(f\left( x \right) = 3\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) - 2\left( {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x} \right)\). Giá trị của \(f'\left( {2018} \right)\) là:
Đáp án: D Phương pháp giải: Rút gọn hàm số \(f\left( x \right)\) sau đó tính đạo hàm. Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}f\left( x \right) = 3\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) - 2\left( {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x} \right)\\f\left( x \right) = 3\left[ {{{\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)}^2} - 2{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 2\left[ {{{\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)}^3} - 3{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)} \right]\\f\left( x \right) = 3\left[ {1 - \dfrac{1}{2}{{\sin }^2}2x} \right] - 2\left( {1 - \dfrac{3}{4}{{\sin }^2}2x} \right)\\f\left( x \right) = 3 - \dfrac{3}{2}{\sin ^2}2x - 2 + \dfrac{3}{2}{\sin ^2}2x = 1\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow f'\left( {2018} \right) = 0\end{array}\) Chọn D. Câu hỏi 39 : Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {\sin ^2}\left( {1 - \dfrac{x}{2}} \right)\). Giá trị lớn nhất của \(f'\left( x \right)\) bằng:
Đáp án: C Phương pháp giải: Sử dụng các công thức tính đạo hàm \(\left( {{u^n}} \right)' = n{u^{n - 1}};\,\,\left( {\sin u} \right)' = u'\cos u\). Lời giải chi tiết: Ta có: \(y' = 2\sin \left( {1 - \dfrac{x}{2}} \right)\cos \left( {1 - \dfrac{x}{2}} \right).\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) = - \dfrac{1}{2}\sin \left( {2 - x} \right)\) Ta có \( - 1 \le \sin \left( {2 - x} \right) \le 1 \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} \le - \dfrac{1}{2}\sin \left( {2 - x} \right) \le \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} \le y' \le \dfrac{1}{2}\). Vậy \(\max f'\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\). Chọn C. Câu hỏi 40 : Tìm đạo hàm của hàm số \(y = 3\cos x + 1\).
Đáp án: C Phương pháp giải: Sử dụng công thức đạo hàm hàm số lượng giác: \(\left( {\cos x} \right)' = - \sin x\). Lời giải chi tiết: Ta có: \(y' = - 3\sin x\). Chọn C. Câu hỏi 41 : Đạo hàm của hàm số \(y = \cot x\) là hàm số:
Đáp án: B Phương pháp giải: Sử dụng đạo hàm của hàm số lượng giác: \(\left( {\cot x} \right)' = - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}\). Lời giải chi tiết: \(\left( {\cot x} \right)' = - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) Chọn B. Câu hỏi 42 : Tính đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 3\sin x - 5\cos x\).
Đáp án: D Phương pháp giải: Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm lượng giác: \(\left( {\sin x} \right)' = \cos x\), \(\left( {\cos x} \right)' = - \sin x\). Lời giải chi tiết: \(f'\left( x \right) = 3\cos x + 5\sin x.\) Chọn D. Câu hỏi 43 : Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\sin x\,\,\,\,khi\,\,\,\,x \ge 0\\\sin \left( { - x} \right)\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,x < 0\end{array} \right..\) Tìm khẳng định SAI?
Đáp án: C Phương pháp giải: Sử dụng khái niệm tính liên tục để làm bài. Lời giải chi tiết: Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sin x = \sin 0 = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \sin \left( { - x} \right) = \sin 0 = 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 0 = f\left( 0 \right)\) \( \Rightarrow \) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0} = 0.\) Chọn C. Câu hỏi 44 : Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2{{\cos }^3}x}}{3} + {\sin ^3}x - 2\cos x - 3\sin x.\) Biểu diễn nghiệm của phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) trên đường tròn ta được mấy điểm phân biệt?
Đáp án: B Phương pháp giải: Tính \(f'\left( x \right)\) sau đó giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) để tìm số nghiệm của phương trình. Lời giải chi tiết: Ta có : \(f\left( x \right) = \frac{{2{{\cos }^3}x}}{3} + {\sin ^3}x - 2\cos x - 3\sin x\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow f'\left( x \right) = - 2{\cos ^2}x\sin x + 3{\sin ^2}x\cos x + 2\sin x - 3\cos x\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = 0\\ \Leftrightarrow - 2{\cos ^2}x\sin x + 3{\sin ^2}x\cos x + 2\sin x - 3\cos x = 0\\ \Leftrightarrow - 2\sin x\left( {{{\cos }^2}x - 1} \right) + 3\cos x\left( {{{\sin }^2}x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin x.{\sin ^2}x - 3\cos x.{\cos ^2}x = 0\\ \Leftrightarrow 2{\sin ^3}x - 3{\cos ^3}x = 0\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\) Với \(\cos x = 0 \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow 2{\sin ^3}x = 0\) (vô lý) \( \Rightarrow \cos x = 0\) không là nghiệm của phương trình \(\left( * \right).\) Với \(\cos x \ne 0,\) chia cả hai vế của phương trình \(\left( * \right)\) cho \({\cos ^3}x\) ta được : \(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow 2.\frac{{{{\sin }^3}x}}{{{{\cos }^3}x}} - 3.\frac{{{{\cos }^3}x}}{{{{\cos }^3}x}} = 0\\ \Leftrightarrow 2{\tan ^3}x - 3 = 0 \Leftrightarrow 2{\tan ^3}x = 3\\ \Leftrightarrow {\tan ^3}x = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \tan x = \sqrt[3]{{\frac{3}{2}}}\\ \Leftrightarrow x = \arctan \sqrt[3]{{\frac{3}{2}}}+k\pi\end{array}\) Chọn B. Câu hỏi 45 : Cho hàm số \(y = \dfrac{{m\tan x + 1}}{{4\tan x + m}}\). Tìm m để \(y' > 0\,\,\forall x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)\) .
Đáp án: B Phương pháp giải: - Đặt \(t = \tan x\), tìm khoảng giá trị của t ứng với \(x \in \left( {0 ;\dfrac{\pi }{4}} \right)\). - Viết hàm số theo biến t. - Tính y’. Tìm điều kiện của m để thỏa mãn yêu cầu bài toán. Lời giải chi tiết: Đặt \(t = \tan x\), với \(x \in \left( {0 ;\dfrac{\pi }{4}} \right)\)\( \Rightarrow t \in \left( {0;1} \right)\). Khi đó hàm số trở thành \(y = \dfrac{{mt + 1}}{{4t + m}}\). ĐKXĐ: \(t \ne - \dfrac{m}{4}\). Ta có: \(y' = \dfrac{{{m^2} - 4}}{{{{\left( {4t + m} \right)}^2}}}\). Để \(y' > 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,\,\forall x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)\) thì \(\dfrac{{{m^2} - 4}}{{{{\left( {4t + m} \right)}^2}}} > 0\,\,\,\forall t \in \left( {0;1} \right),\,\,t \ne - \dfrac{m}{4}\). \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4 > 0\\ - \dfrac{m}{4} \notin \left( {0;1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < - 2\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l} - \dfrac{m}{4} \le 0\\ - \dfrac{m}{4} \ge 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < - 2\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m \ge 0\\m \le - 4\end{array} \right.\end{array} \right.\). Vậy \(m \in \left( { - \infty ; - 4} \right] \cup \left( {2; + \infty } \right)\). Chọn B. Câu hỏi 46 : Cho hàm số \(y = \tan x\). Hãy tìm mệnh đề đúng:
Đáp án: C Phương pháp giải: - Tính đạo hàm hàm lượng giác: \(\left( {\tan x} \right)' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\). - Sử dụng công thức \(1 + {\tan ^2}x = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\). - Biểu diễn \(y'\) theo \(y\) sau đó chọn đáp án đúng. Lời giải chi tiết: Ta có: \(y' = \left( {\tan x} \right)' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x = 1 + {y^2}\). Vậy \(y' - {y^2} = 1 \Leftrightarrow y' - {y^2} - 1 = 0.\) Chọn C. Câu hỏi 47 : Cho hàm số \(y = \left[ {\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right)} \right]^2\). Tính đạo hàm của hàm số:
Đáp án: B Phương pháp giải: - Sử dụng công thức tính đạo hàm hàm hợp \(\left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}.u'\). - Sử dụng các công thức tính đạo hàm hàm lượng giác: \(\left( {\sin u} \right)' = u'.\cos u\), \(\left( {\cos u} \right)' = - u'.\sin u\). - Sử dụng công thức nhân đôi: \(2\sin x\cos x = \sin 2x\). Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}y' = 2\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right).\left[ {\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right)} \right]'\\y' = - 2\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right).\sin \left( {{{\sin }^2}x} \right).\left( {{{\sin }^2}x} \right)'\\y' = - 2\sin \left( {{{\sin }^2}x} \right)\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right).2\sin x\left( {\sin x} \right)'\\y' = - 2\sin \left( {{{\sin }^2}x} \right)\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right).2\sin x.\cos x\\y' = - 2\sin 2x\sin \left( {{{\sin }^2}x} \right)\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right)\end{array}\) Chọn B. Câu hỏi 48 : Cho hàm số \(y = {\sin ^2}x\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Đáp án: B Phương pháp giải: - Sử dụng công thức tính đạo hàm hàm hợp và hàm số lượng giác để tính \(y'\). - Thay \(y'\) vào các đẳng thức ở các đáp án. Lời giải chi tiết: Ta có: \(\begin{array}{l}y' = \left( {{{\sin }^2}x} \right)' = 2\sin x.\left( {\sin x} \right)'\\\,\,\,\,\, = 2\sin x.\cos x = \sin 2x\end{array}\) Thay vào đáp án B ta có: \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,4y{\cos ^2}x - {\left( {y'} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow 4{\sin ^2}x{\cos ^2}x - {\left( {\sin 2x} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2\sin x\cos x} \right)^2} - {\left( {\sin 2x} \right)^2} = 0\end{array}\) \( \Leftrightarrow {\left( {\sin 2x} \right)^2} - {\left( {\sin 2x} \right)^2} = 0\) (luôn đúng). Chọn B. Câu hỏi 49 : Một chất điểm chuyển động có phương trình \(s\left( t \right) = A\cos \left( {wt + \varphi } \right)\,\,\left( m \right)\). Phương trình này gọi là phương trình dao động điều hòa. Khi đó vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \(t\) là \(v\left( t \right) = s'\left( t \right)\). Cho biết \(A = 20\,\,cm,\,\,w = 5\pi \,\,\left( {rad/s} \right),\,\,\varphi = \dfrac{\pi }{4}\,\,\left( {rad} \right)\). Câu 1: Tính vận tốc tại thời điểm \(t = 10s\).
Đáp án: A Phương pháp giải: \(v\left( t \right) = s'\left( t \right)\). Lời giải chi tiết: \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = - Aw\sin \left( {wt + \varphi } \right)\). \( \Rightarrow v\left( {10} \right) = - 0,2.5\pi .\sin \left( {5\pi .10 + \dfrac{\pi }{4}} \right) = - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\pi \,\,\left( {m/s} \right)\). Chọn A. Câu 2: Tính vận tốc lớn nhất của chuyển động.
Đáp án: B Phương pháp giải: Sử dụng tính chất \( - 1 \le \sin \alpha \le 1\,\,\forall \alpha \). Lời giải chi tiết: Ta cos: \(v\left( t \right) = - Aw\sin \left( {wt + \varphi } \right) \le Aw\) Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \sin \left( {wt + \varphi } \right) = - 1 \Leftrightarrow wt + \varphi = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \). \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 5\pi t + \dfrac{\pi }{4} = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\ \Leftrightarrow 5\pi t = - \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \\ \Leftrightarrow t = \dfrac{{ - 3}}{{20}} + \dfrac{{2k}}{5}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\) Vậy \({v_{max}} = Aw = 0,2.5\pi = \pi \,\,\left( {m/s} \right)\). Chọn B. Câu hỏi 50 : Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x\) và \(g\left( x \right) = \dfrac{1}{4}\cos 4x\). Chứng minh rằng \(f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Phương pháp giải: - Biến đổi \(f\left( x \right)\), sử dụng công thức \({a^2} + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2} - 2ab\). - Tính đạo hàm hàm số \(f\left( x \right)\) sau khi biến đổi, sử dụng công thức \(\left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}.u',\,\,\left( {\sin u} \right)' = u'\cos u\). - Tính đạo hàm hàm số \(g\left( x \right)\), sử dụng công thức \(\left( {\cos u} \right)' = - u'\sin u\). Lời giải chi tiết: Ta có: \(\begin{array}{l}f\left( x \right) = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x\\f\left( x \right) = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\f\left( x \right) = 1 - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}2x\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = - \dfrac{1}{2}.2\sin 2x\left( {\sin 2x} \right)'\\\,\,\,\,\,\,f'\left( x \right) = - 2\sin 2x\cos 2x\\\,\,\,\,\,\,f'\left( x \right) = - \sin 4x\\g\left( x \right) = \dfrac{1}{4}\cos 4x\\ \Rightarrow g'\left( x \right) = - \dfrac{1}{4}.4\sin 4x = - \sin 4x\end{array}\) Vậy \(f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Quảng cáo
|