Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 15 - Bài 4, 5 - Chương 1 - Hình học 8

Đề bài

Dựng hình thang cân ABCD $\left( {AB// CD} \right)$ biết AB = a, đường chéo AC = m, góc giữa hai đường chéo là $\alpha .$

Lời giải chi tiết

Phân tích: Giả sử hình thang cân ABCD đã dựng ta thấy tam giác cân AOB dựng được ngay biết $AB = a,\widehat {AOB} = \alpha$

$\Rightarrow \widehat {{A_1}} = \widehat {{B_1}} = \dfrac{{{{180}^ \circ } - \alpha } }{2} = {90^ \circ } -\dfrac{\alpha  }{2}$

Cần xác định hai đỉnh C và D.

+ D thuộc BO sao cho BD = m.

+ C thuộc tia AO sao cho AC = m.

Cách dựng:

- Dựng $\Delta AOB$ biết AB = a, $\widehat {OAB} = \widehat {OBA} = {90^ \circ } - \dfrac{\alpha }{2}.$

- Lấy D thuộc tia BO sao cho BD = m.

- Lấy C thuộc tia AO sao cho AC = m.

Ta được hình thang ABCD cần dựng. 

Chứng minh:

Theo cách dựng ta có tam giác OAB cân tại O có góc ở đáy là $\widehat {OAB} = \widehat {OBA} = {90^ \circ } - \dfrac{\alpha }{2}$ nên $\widehat {AOB} =\alpha$

Vì AC=BD và OA=OB nên OD=OC. Suy ra tam giác ODC cân có góc ở đỉnh $\widehat {COD}=\widehat {AOB} =\alpha$ (đối đỉnh) nên $\widehat {ODC} = \widehat {OBA} = {90^ \circ } - \dfrac{\alpha }{2}$

Mà hai góc $\widehat {ODC} , \widehat {OBA}$ ở vị trí so le trong nên AB//CD. Suy ra ABCD là hình thang.

Có AB = a, đường chéo AC = m, góc giữa hai đường chéo là $\widehat {AOB} =\alpha .$

Vậy ABCD thỏa mãn đề bài.

Biện luận: Khi $0 < \alpha  < {180^ \circ }$ bài toán luôn có nghiệm hình.

Loigiaihay.com