Đề kiểm tra 15 phút – Chương 1 – Đề số 7 – Đại số và giải tích 11

Đề bài

Câu 1: Giải các phương trình sau:

a) $2{\sin ^2}x + 5\cos x + 1 = 0$

b) ${\tan ^2}x + \left( {1 - \sqrt 3 } \right)\tan x - \sqrt 3  = 0$

c) ${\sin ^2}x = \dfrac{1}{2}$

d) $\cos 2x - 3\cos x = 4{\cos ^2}\dfrac{x}{2}$

Câu 2:

a) Giải phương trình sau: $\cos x + \sqrt 3 \sin x = \sqrt 2$

b) Tìm m để phương trình : $m\cos x + (m + 2)\sin x = 2$ có nghiệm.

Quảng cáo

Lời giải chi tiết

Câu 1:

$a)\,2{\sin ^2}x + 5\cos x + 1 = 0$

$\Leftrightarrow 2(1 - {\cos ^2}x) + 5\cos x + 1 = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2 - 2{\cos ^2}x + 5\cos x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow - 2{\cos ^2}x + 5\cos x + 3 = 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 5\cos x - 3 = 0$

Đặt: $t = \cos x\,\,( - 1 \le t \le 1)$

Khi đó phương trình trở thành: $2{t^2} - 5t - 3 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 3\,\,(ktm)}\\{t =  - \dfrac{1}{2}\,\,\,(tm)}\end{array}} \right.$

Với $t =  - \dfrac{1}{2} \Rightarrow \cos x =  - \dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \cos x = \cos \dfrac{{2\pi }}{3}$

$\Leftrightarrow x =  \pm \dfrac{{2\pi }}{3} = k2\pi$

$b)  \,\,{\tan ^2}x + \left( {1 - \sqrt 3 } \right)\tan x - \sqrt 3  = 0\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$

ĐK: $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi$

$(1)\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\tan x = \sqrt 3 }\\{\tan x =  - 1}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\tan x = \tan \dfrac{\pi }{3}}\\{\tan x = \tan (\dfrac{{ - \pi }}{4})}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \,\,(TM)}\\{x = \dfrac{{ - \pi }}{4} + k\pi \,\,(KTM)}\end{array}} \right.\,\,(k \in \mathbb{Z})$

$c) \; {\sin ^2}x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\,\,\,\,\,(1)}\\{\sin x =  - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\,\,\,(2)}\end{array}} \right.$

$\begin{array}{l}(1) \Leftrightarrow \sin x = \sin \dfrac{\pi }{4}\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}\,\,(} \right.k \in \mathbb{Z})\\(2) \Leftrightarrow \sin x = \sin ( - \dfrac{\pi }{4})\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{ - \pi }}{4} + k2\pi }\\{x = \dfrac{{5\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}} \right.\,\,(k \in \mathbb{Z})\end{array}$

Cách khác:

$\begin{array}{l} {\sin ^2}x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{1 - \cos 2x}}{2} = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 1 - \cos 2x = 1 \Leftrightarrow \cos 2x = 0\\ \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2} \end{array}$

$d)  \,\cos 2x - 3\cos x = 4{\cos ^2}\dfrac{x}{2}$

$\Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 1 - 3\cos x = 4.\dfrac{{1 + \cos x}}{2}$

$\Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 3\cos x - 1 = 2 + 2\cos x$

$\Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 5\cos x - 3 = 0$

Đặt: $t = \cos x\,\,( - 1 \le t \le 1)$ khi đó phương trình trở thành: $2{t^2} - 5t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 3\,\,(ktm)}\\{t =  - \dfrac{1}{2}\,\,\,(tm)}\end{array}} \right.$

Với $t =  - \dfrac{1}{2} \Rightarrow \cos x =  - \dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \cos x = \cos \dfrac{{2\pi }}{3} \Leftrightarrow x =  \pm \dfrac{{2\pi }}{3} = k2\pi$

Câu 2:

$\begin{array}{l}a)  \cos x + \sqrt 3 \sin x = \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\cos x + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \sin \dfrac{\pi }{6}\cos x + \cos \dfrac{\pi }{6}\sin x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \sin (\dfrac{\pi }{6} + x) = \sin \dfrac{\pi }{4}\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x + \dfrac{\pi }{6} = \pi  - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi }\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{\pi }{{12}} + k2\pi }\\{x = \dfrac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi }\end{array}} \right.\,\,(k \in \mathbb{Z})\end{array}$

$b) \;m\cos x + (m + 2)\sin x = 2  (1)$

Để PT(1) có nghiệm $\Leftrightarrow {m^2} + {(m + 2)^2} \ge {2^2}$

$\Leftrightarrow {m^2} + {m^2} + 4m + 4 \ge 4$

$\Leftrightarrow 2{m^2} + 4m \ge 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m \ge 0\\ m \le - 2 \end{array} \right.$

Vậy với $m \in \left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {0; + \infty } \right)$ thì phương trình có nghiệm.

 Loigiaihay.com