Đề kiểm tra 15 phút – Chương 1 – Đề số 10 – Đại số và giải tích 11

Đề bài

Câu 1: Giá trị lớn nhất của hàm số $y = 8\sin x + 6\cos x$ là

A. 8                            B. 6

C. 10                           D. 14

Câu 2: Tập xác định của hàm số $y\,\, = \,\,\dfrac{1}{{\sin x}} + \dfrac{1}{{\cos x}}$ là

A. $\mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi } \right\},k \in \mathbb{Z}$

B. $\mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi } \right\},k \in \mathbb{Z}$

C. $\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\dfrac{\pi }{2}} \right\},k \in \mathbb{Z}$

D. $\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi } \right\},k \in \mathbb{Z}$

Câu 3: Số nghiệm trong khoảng $\left( { - \pi ;5\pi } \right)$ của phương trình $\left( {\sin x + \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)\cos x = 0$ là

A. 6                            B. 8

C. 10                           D. 12

Câu 4 : Tập giá trị của hàm số $y = 3\sin x + 4\cos x + 1$ là

A. [-2;6]                      B. [-4;4]

C. [-4;6]                      D. [-1;6]

Câu 5 : Cho $x \in {\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}$, biểu thức rút gọn của $\sqrt {2 + \sqrt {2 + 2\cos x} }$ là:

A. $2\cos \dfrac{x}{4}$

B. $2{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\dfrac{x}{4}$

C. -$2{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\dfrac{x}{4}$

D. $- 2\cos \dfrac{x}{4}$

Câu 6: Tập xác định của hàm số $y\,\, = \,\,\sin \sqrt {\dfrac{{1 + x}}{{1 - x}}}$ là:

A. $\left( { - \infty ;1} \right)$           B. $( - 1;1]$

C. ${\rm{[}} - 1;1)$               D. $( - \infty ; - 1)$

Câu 7: Trong các phương trình sau, phương trình nào vô nghiệm:

A. $3\sin x + 1 = 0$

B. $\cos x = \dfrac{\pi }{3}$

C. $2\sin x{\rm{ = }}\dfrac{3}{2}$

D. $\sqrt 3 \sin x + \cos x = 1$

Câu 8: Phương trình $2{\sin ^2}x + m\sin 2x = 2m$ vô nghiệm khi:

A. $m \in \left[ {0;\dfrac{4}{3}} \right]$

B. $m \le 0;m \ge \dfrac{4}{3}$

C. $0 < m < \dfrac{4}{3}$

D. $m < 0;m > \dfrac{4}{3}$

Câu 9: Nghiệm của phương trình ${\cos ^2}x - \cos x = 0,0 < x < \pi$ là:

A. $\dfrac{{ - \pi }}{2}$

B. $\dfrac{\pi }{4}$

C. $\dfrac{\pi }{6}$

D. $\dfrac{\pi }{2}$

Câu 10: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình : $\sin x + \sin 2x = \cos x + 2{\cos ^2}x$ là:

A. $\dfrac{\pi }{6}$

B. $\dfrac{\pi }{4}$

C. $\dfrac{{2\pi }}{3}$

D. $\dfrac{\pi }{3}$

Quảng cáo

Lời giải chi tiết

Câu 1:

Ta có $- \sqrt {{8^2} + {6^2}}  \le 8\sin x + 6\cos x \le \sqrt {{8^2} + {6^2}}$

$\Rightarrow  - 10 \le y \le 10$

Chọn C.

Câu 2:

ĐK: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x \ne 0}\\{\cos x \ne 0}\end{array}}\right.  \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \\ \Leftrightarrow 2x \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{k\pi }}{2}$

Chọn C

Câu 3:

$\begin{array}{l} \left( {\sin x + \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)\cos x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x + \frac{1}{{\sqrt 3 }} = 0\\ \cos x = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\\ \cos x = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \arcsin \left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) + k2\pi \\ x = \pi - \arcsin \left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) + k2\pi \\ x = \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right. \end{array}$

Với $x = \arcsin \left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) + k2\pi$ thì:

$\begin{array}{l} - \pi < \arcsin \left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) + k2\pi < 5\pi \\ \Leftrightarrow - 0,4 < k < 2,59\\ \Rightarrow k \in \left\{ {0;1;2} \right\} \end{array}$

Với $x = \pi  - \arcsin \left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) + k2\pi$ thì:

$\begin{array}{l} - \pi < \pi - \arcsin \left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) + k2\pi < 5\pi \\ \Leftrightarrow - 1,1 < k < 1,9\\ \Rightarrow k \in \left\{ { - 1;0;1} \right\} \end{array}$

Với $x = \frac{\pi }{2} + k\pi$ thì:

$\begin{array}{l} - \pi < \frac{\pi }{2} + k\pi < 5\pi \\ \Leftrightarrow - \frac{3}{2} < k < \frac{9}{2}\\ \Rightarrow k \in \left\{ { - 1;0;1;2;3;4} \right\} \end{array}$

Vậy có tất cả 3+3+6=12 nghiệm thỏa mãn.

Chọn D.

Câu 4:

$- \sqrt {{3^2} + {4^2}}  \le 3\sin x + 4\cos x \le \sqrt {{3^2} + {4^2}}$ $\Rightarrow  - 5 \le 3\sin x + 4\cos x \le 5$ $\Leftrightarrow  - 4 \le 3\sin x + 4\cos x + 1 \le 6$

Chọn C.

Câu 5:

$\sqrt {2 + \sqrt {2 + 2\cos x} }$$= \sqrt {2 + \sqrt {2 + 2\left( {2{{\cos }^2}\dfrac{x}{2} - 1} \right)} }$$= \sqrt {2 + \sqrt {4{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}} }$$= \sqrt {2 + 2\left| {\cos \dfrac{x}{2}} \right|}$

Vì $x \in \left[ {0;\pi } \right]$ nên $\dfrac{x}{2} \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]$ $\Rightarrow \cos \dfrac{x}{2} \ge 0$.

Do đó

$\sqrt {2 + \sqrt {2 + 2\cos x} }$$= \sqrt {2 + 2\cos \dfrac{x}{2}}$$= \sqrt {2 + 2\left( {2{{\cos }^2}\dfrac{x}{4} - 1} \right)}$ $= \sqrt {4{{\cos }^2}\dfrac{x}{4}}$ $= \left| {2\cos \dfrac{x}{4}} \right| = 2\cos \dfrac{x}{4}$

(vì $x \in \left[ {0;\pi } \right]$ nên $\dfrac{x}{4} \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right]$ $\Rightarrow \cos \dfrac{x}{4} > 0$)

Chọn A

Câu 6:

ĐK: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{1 + x}}{{1 - x}} \ge 0}\\{1 - x \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow x \in {\rm{[}} - 1;1)} \right.$

Chọn C.

Câu 7:

Do $\left| {\dfrac{\pi }{3}} \right| > 1 \Rightarrow \cos x = \dfrac{\pi }{3}$ vô nghiệm.

Chọn B

Câu 8:

$2{\sin ^2}x + m\sin 2x = 2m$ $\Leftrightarrow 2.\dfrac{{1 - \cos 2x}}{2} + m\sin 2x = 2m$ $\Leftrightarrow m\sin 2x - \cos 2x = 2m - 1\,\,\,(1)$

Để phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) vô nghiệm

$\Leftrightarrow {m^2} + 1 < {\left( {2m - 1} \right)^2}$ $\Leftrightarrow {m^2} + 1 < 4{m^2} - 4m + 1$ $\Leftrightarrow 3{m^3} - 4m > 0$ $\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < 0}\\{m > \dfrac{4}{3}}\end{array}} \right.$

Chọn D.

Câu 9:

${\cos ^2}x - \cos x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 0}\\{\cos x = 1}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi }\\{x = k2\pi }\end{array}} \right.$

Do $x \in (0;\pi )$ nên $x = \dfrac{\pi }{2}$

Chọn D.

Câu 10:

$\begin{array}{l} \sin x + \sin 2x = \cos x + 2{\cos ^2}x\\ \Leftrightarrow \sin x + 2\sin x\cos x = \cos x + 2{\cos ^2}x\\ \Leftrightarrow \sin x\left( {1 + 2\cos x} \right) = \cos x\left( {1 + 2\cos x} \right)\\ \Leftrightarrow \sin x\left( {1 + 2\cos x} \right) - \cos x\left( {1 + 2\cos x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 + 2\cos x} \right)\left( {\sin x - \cos x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 1 + 2\cos x = 0\\ \sin x - \cos x = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = - \frac{1}{2}\\ \sin x = \cos x \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = - \frac{1}{2}\\ \tan x = 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\ x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right. \end{array}$

Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm $x=\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi$ là $x=\frac{{2\pi }}{3}$.

Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm $x=-\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi$ là $x=\frac{{4\pi }}{3}$.

Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm $x=\frac{{\pi }}{4} + k2\pi$ là $x=\frac{{\pi }}{4}$.

So sánh ba nghiệm trên ta thấy nghiệm nhỏ nhất là $x=\frac{{\pi }}{4}$.

Chọn B

Loigiaihay.com