Đề khảo sát chất lượng đầu năm Toán 10 Chân trời sáng tạo - Đề số 5Đề bài
Câu 1 :
Đồ thị hàm số $y = (3 - m)x + m + 3$ đi qua gốc tọa độ khi:
Câu 2 :
Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị biểu thức \(P = \dfrac{{\sqrt {3 - \sqrt 5 } .\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}}{{\sqrt {10} + \sqrt 2 }}\)
Câu 3 :
Cho \(x,y\) là các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện \(\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = 2.\) Tính giá trị của biểu thức \(Q = x\sqrt {{y^2} + 1} + y\sqrt {{x^2} + 1} .\)
Câu 4 :
Với giá trị nào của \(a\) thì hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}ax + ay = {a^2}\\x + ay = 2\end{array} \right.\) nhận \(\left( { - \dfrac{2}{3}; - \dfrac{4}{3}} \right)\) là nghiệm:
Câu 5 :
Phương trình: \(2{{x}^{2}}-4mx-3{{m}^{2}}-5=0\)
Câu 6 :
Cạnh bên của tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) dài $20cm$ , góc ở đáy là \(50^\circ \)
Câu 7 :
Một tấm sắt hình chữ nhật có chu vi $96cm$. Người ta cắt ở mỗi góc tấm sắt $1$ hình vuông cạnh là $4cm$. Diện tích còn lại của tấm sắt là $448c{m^2}$. Tính các kích thước của tấm sắt biết chiều dài của tấm sắt có độ dài lớn hơn $20cm$.
Câu 8 :
Cho hình vẽ sau:  Chọn câu sai.
Câu 9 :
Tìm điều kiện của $x$ để căn thức \(\sqrt {\dfrac{1}{{x - 1}}} \) có nghĩa.
Câu 10 :
Một hình nón có bán kính đáy bằng \(5cm\) , chiều cao bằng \(12\,cm.\)Tính diện tích xung quanh của hình nón.
Câu 11 :
Cho hình vẽ, MA và MB là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O,3cm} \right)\), \(MA = 4cm\). Độ dài đoạn thẳng AB là:
Câu 12 :
Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - 3x + 2 = 0.\) Tính tổng \(S = {x_1} + {x_2}\) và \(P = {x_1}{x_2}.\)
Câu 13 :
Số giao điểm của đường thẳng \(d:y = 12x - 9\) và parabol \(\left( P \right):y = 4{x^2}\) là:
Câu 14 :
Trong hình vẽ bên cho $OC \bot AB,AB = 12cm,OA = 10cm$. Độ dài $AC$ là: 
Câu 15 :
Giải phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 4x + 5} = x - 2\) ta được nghiệm là
Câu 16 :
Tâm đường tròn bàng tiếp tam giác là
Câu 17 :
Rút gọn biểu thức \(A = 3\sqrt 8 - \sqrt {18} + 5\sqrt {\dfrac{1}{2}} + \sqrt {50} \) ta được kết quả là
Câu 18 :
Cho đường tròn $\left( {O;3cm} \right)$, lấy điểm $A$ sao cho $OA = 6cm$. Từ \(A\) vẽ tiếp tuyến $AB,AC$ đến đường tròn $\left( O \right)$ ($B,C$ là tiếp điểm). Chu vi tam giác $ABC$ là
Câu 19 :
Cho tứ giác ABCD có số đo các góc A, B, C, D lần lượt như sau. Trường hợp nào thì tứ giác ABCD có thể là tứ giác nội tiếp.
Câu 20 :
Hai bạn A và B đi xe máy khởi hành từ $2$ địa điểm cách nhau $210{\rm{ }}km,$ đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau $3h.$ Tìm vận tốc của mỗi người biết nếu $A$ tăng vận tốc thêm $5{\rm{ }}km/h$ và B giảm vận tốc $5km/h$ thì vận tốc của $A$ bằng vận tốc của $B.$
Câu 21 :
Một hình trụ có chiều cao bằng đường kính đáy. Biết thể tích của nó là \(54\pi \,\left( {c{m^3}} \right).\) Tính diện tích toàn phần của hình trụ.
Câu 22 :
Cho một tam giác đều \(ABC\) có cạnh \(AB = 12cm\), đường cao \(AH\). Khi đó thể tích hình cầu được tạo thành khi quay nửa đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) một vòng quanh \(AH\).
Câu 23 :
Điểm nào sau đây thuộc ĐTHS $y = 2{\rm{x}} + 1$:
Câu 24 :
Cho đường thẳng $d:y = x - 1$. Khi đó khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng đã cho là:
Câu 25 :
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 21\,cm$; $\widehat C = 40^\circ $ , phân giác \(BD\) (\(D\) thuộc \(AC\) ). Độ dài phân giác $BD$ là (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
Câu 26 :
Cho hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = 2x - 3\) và \(\left( {{d_2}} \right):y = - \dfrac{1}{2}x + 2\) Tìm \(m\) để ba đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\), \(\left( {{d_2}} \right)\) và \(\left( {{d_3}} \right):y = 3x - 2m - 3\) đồng quy.
Câu 27 :
Cặp số \(\left( {x;y} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 4y = - 2\\2x + y = 6\end{array} \right.\) là:
Câu 28 :
Gọi \({x_1};{x_2}\) là nghiệm của phương trình \(2{x^2} - 11x + 3 = 0\). Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức \(A = x_1^2 + x_2^2\)
Câu 29 :
Đường tròn ngoại tiếp hình vuông cạnh bằng 2 có bán kính là.
Câu 30 :
Cho tam giác \(ABC\) không cân, nội tiếp đường tròn \(\left( O \right),\,\,BD\) là đường phân giác của góc \(\widehat {ABC}.\) Đường thẳng \(BD\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(E.\) Đường tròn \(\left( {{O_1}} \right)\) đường kính \(DE\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(F.\) Khi đó đường thẳng đối xứng với đường thẳng \(BF\) qua đường thẳng \(BD\) cắt \(AC\) tại \(N\) thì:
Câu 31 :
Chọn câu sai.
Câu 32 :
Biệt thức \(\Delta '\) của phương trình \(3{x^2} - 2mx - 1 = 0\) là
Câu 33 :
Cho hình vẽ. Khi đó đáp án đúng là 
Câu 34 :
Tìm \(m\) để phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4m = 0\) (\(x\) là ẩn, \(m\) là tham số) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^3 - x_1^2 = x_2^3 - x_2^2\).
Câu 35 :
Cho hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm. Chọn khẳng định sai?
Câu 36 :
Cho $3$ điểm $A(0;3),B(2;2);C(m + 3;m)$. Giá trị của $m$ để $3$ điểm $A,B,C$ thẳng hàng là:
Câu 37 :
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\)cho hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = {m^2}x - {m^4} + 2\) và \(\left( {{d_2}} \right):y = \dfrac{{{m^2}}}{{{m^2} + 1}}x + 2\) (\(m\) là tham số thực khác 0). Tìm tất cả giá trị của tham số \(m\) để \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) cắt nhau tại một điểm A duy nhất sao cho diện tích của hình thang \(ABHK\) bằng \(\dfrac{{15}}{2}.\) Biết \(B\left( { - 1;2} \right)\) và hai điểm \(H,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(B\) và A lên trục hoành.
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Đồ thị hàm số $y = (3 - m)x + m + 3$ đi qua gốc tọa độ khi:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng kiến thức: Điểm thuộc đồ thị hàm số. Điểm $M(x_0;y_0)$ thuộc đồ thị hàm số $y=ax+b$ \( \Leftrightarrow {y_0} = a{x_0} + b\) Lời giải chi tiết :
Ta có điểm $O\left( {0\;;0} \right)$ thuộc đường thẳng $y = (3 - m)x + m + 3 \Leftrightarrow (3-m).0+m + 3 = 0 $$\Leftrightarrow m+3=0\Leftrightarrow m = - 3$
Câu 2 :
Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị biểu thức \(P = \dfrac{{\sqrt {3 - \sqrt 5 } .\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}}{{\sqrt {10} + \sqrt 2 }}\)
Đáp án : B Phương pháp giải :
Nhân biểu thức liên hợp với mẫu rồi rút gọn biểu thức đã cho. Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}P = \dfrac{{\sqrt {3 - \sqrt 5 } .\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}}{{\sqrt {10} + \sqrt 2 }} \\= \dfrac{{\sqrt {3 - \sqrt 5 } \left( {3 + \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt {10} - \sqrt 2 } \right)}}{{10 - 2}}\\ = \dfrac{{\sqrt {3 - \sqrt 5 } \left( {3 + \sqrt 5 } \right).\sqrt 2 \left( {\sqrt 5 - 1} \right)}}{8}\\ = \dfrac{{\sqrt {6 - 2\sqrt 5 } .\left( {3\sqrt 5 + 5 - 3 - \sqrt 5 } \right)}}{8} \\= \dfrac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} .\left( {2\sqrt 5 + 2} \right)}}{8}\\ = \dfrac{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right).2.\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}}{8} \\= \dfrac{{2.\left( {5 - 1} \right)}}{8} \\= 1.\,\,\,\left( {do\,\,\,\sqrt 5 - 1 > 0} \right).\end{array}\)
Câu 3 :
Cho \(x,y\) là các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện \(\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = 2.\) Tính giá trị của biểu thức \(Q = x\sqrt {{y^2} + 1} + y\sqrt {{x^2} + 1} .\)
Đáp án : D Phương pháp giải :
Biến đổi biểu thức đã cho bằng phương pháp nhân liên hợp sau đó tính giá trị biểu thức \(Q\). Lời giải chi tiết :
Theo đề bài ta có: \(\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = 2\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right)\left( {\sqrt {{y^2} + 1} - y} \right) = 2\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)\left( {\sqrt {{y^2} + 1} - y} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 1 - {x^2}} \right)\left( {{y^2} + 1 - {y^2}} \right) = 2\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)\left( {\sqrt {{y^2} + 1} - y} \right)\\ \Leftrightarrow 1 = 2\left[ {\left( {\sqrt {{x^2} + 1} \sqrt {{y^2} + 1} + xy} \right) - \left( {x\sqrt {{y^2} + 1} + y\sqrt {{x^2} + 1} } \right)} \right]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\) Lại có: \(\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = 2\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {\sqrt {{x^2} + 1} \sqrt {{y^2} + 1} + xy} \right) + \left( {x\sqrt {{y^2} + 1} + y\sqrt {{x^2} + 1} } \right) = 2\,\,\\ \Leftrightarrow 2\left( {\sqrt {{x^2} + 1} \sqrt {{y^2} + 1} + xy} \right) + 2\left( {x\sqrt {{y^2} + 1} + y\sqrt {{x^2} + 1} } \right) = 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\) Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) ta được: \( - 4\left( {x\sqrt {{y^2} + 1} + y\sqrt {{x^2} + 1} } \right) = - 3\)\( \Rightarrow x\sqrt {{y^2} + 1} + y\sqrt {{x^2} + 1} = \dfrac{3}{4}.\) Vậy \(Q = \dfrac{3}{4}.\)
Câu 4 :
Với giá trị nào của \(a\) thì hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}ax + ay = {a^2}\\x + ay = 2\end{array} \right.\) nhận \(\left( { - \dfrac{2}{3}; - \dfrac{4}{3}} \right)\) là nghiệm:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Thay \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \dfrac{2}{3}\\y = - \dfrac{4}{3}\end{array} \right.\) vào từng phương trình của hệ phương trình để tìm \(m.\) Lời giải chi tiết :
Thay \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \dfrac{2}{3}\\y = - \dfrac{4}{3}\end{array} \right.\) vào hệ phương trình đã cho ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}a.\left( { - \dfrac{2}{3}} \right) + a.\left( { - \dfrac{4}{3}} \right) = {a^2}\\ - \dfrac{2}{3} + a.\left( { - \dfrac{4}{3}} \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a - 4a = 3{a^2}\\ - \dfrac{4}{3}a = \dfrac{8}{3}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\3{a^2} + 6a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\3a\left( {a + 2} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\\left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = - 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow a = - 2\) Vậy \(a = - 2\) là giá trị cần tìm.
Câu 5 :
Phương trình: \(2{{x}^{2}}-4mx-3{{m}^{2}}-5=0\)
Đáp án : A Phương pháp giải :
Tính biệt thức \(\Delta '\). Từ đó xét xem phương trình có bao nhiêu nghiệm. Lời giải chi tiết :
\(\begin{align} & \,\,\,\,\,\,2{{x}^{2}}-4mx-3{{m}^{2}}-5=0 \\ & \Delta '={{(-2m)}^{2}}-2.(-3{{m}^{2}}-5)=4{{m}^{2}}+6{{m}^{2}}+10=10{{m}^{2}}+10>0 \\ \end{align}\) \(\Rightarrow \) Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
Câu 6 :
Cạnh bên của tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) dài $20cm$ , góc ở đáy là \(50^\circ \)
Đáp án : B Phương pháp giải :
+ Kẻ đường cao \(AH.\) + Tính \(HB\) dựa vào quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông + Lập luận dựa vào tính chất tam giác cân để tính cạnh đáy \(BC.\) Lời giải chi tiết :
 Kẻ \(AH \bot BC\) tại \(H.\) Suy ra \(H\) là trung điểm của \(BC\) (do tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(AH\) vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến) Xét tam giác \(AHB\) vuông tại \(H\) có \(\cos \widehat {ABH} = \dfrac{{BH}}{{AB}} \Rightarrow BH = AB.\cos \widehat {ABH}\)\( = 20.\cos 50^\circ \) Mà \(H\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BC = 2BH = 2.2.\cos 50^0\approx 25,7\,cm\) Vậy \(BC \approx 25,7\,cm.\)
Câu 7 :
Một tấm sắt hình chữ nhật có chu vi $96cm$. Người ta cắt ở mỗi góc tấm sắt $1$ hình vuông cạnh là $4cm$. Diện tích còn lại của tấm sắt là $448c{m^2}$. Tính các kích thước của tấm sắt biết chiều dài của tấm sắt có độ dài lớn hơn $20cm$.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Bước 1: Lập phương trình 1) Chọn ẩn, đơn vị và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm) 2) Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết 3) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2: Giải phương trình Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, giải phương trình bậc nhất, bậc hai… Bước 3: Kết luận Lời giải chi tiết :
Nửa chu vi tấm sắt là $96:2 = 48(cm)$ Gọi chiều dài của tấm sắt là $x{\rm{ }}\left( {cm} \right){\rm{ }}\left( {x > 20} \right)$ Chiều rộng tấm sắt sẽ là $48 - x{\rm{ }}\left( {cm} \right)$ Diện tích tấm sắt ban đầu là $x(48 - x)\,\,\left( {c{m^2}} \right)$ Người ta cắt ở mỗi góc tấm sắt $1$ hình vuông cạnh là $4cm$ nên diện tích phần cắt đi là $4.4.4 = 64(c{m^2})$ Diện tích còn lại của tấm sắt là $448c{m^2}$ nên ta có phương trình: $x(48 - x) - 64 = 448 \Leftrightarrow {x^2} - 48x + 512 = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 32(tmdk)\\x = 16(ktmdk)\end{array} \right.$ Vậy chiều dài và chiều rộng của tấm sắt lần lượt là $32cm$ và $16cm$.
Câu 8 :
Cho hình vẽ sau: Chọn câu sai.
Đáp án : D Lời giải chi tiết :
+ Xét tam giác \(AHB\) vuông tại \(H\) có \(\sin B = \dfrac{{AH}}{{AB}}\) nên A đúng. + Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(\cos C = \dfrac{{AC}}{{BC}}\) nên B đúng. + Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(\tan B = \dfrac{{AC}}{{AB}}\) nên C đúng. + Xét tam giác \(AHC\) vuông tại \(H\) có \(\tan C = \dfrac{{AH}}{{CH}}\) nên D sai.
Câu 9 :
Tìm điều kiện của $x$ để căn thức \(\sqrt {\dfrac{1}{{x - 1}}} \) có nghĩa.
Đáp án : C Phương pháp giải :
\(\sqrt A \) xác định (hay có nghĩa) khi \(A\) lấy giá trị không âm tức là \(A \ge 0.\) Ngoài ra: \(\dfrac{1}{A} \ge 0 \Leftrightarrow A > 0\) Lời giải chi tiết :
Ta có \(\sqrt {\dfrac{1}{{x - 1}}} \) có nghĩa \( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x - 1}} \ge 0 \Rightarrow x - 1 > 0\) (vì $1>0$) \( \Leftrightarrow x > 1\)
Câu 10 :
Một hình nón có bán kính đáy bằng \(5cm\) , chiều cao bằng \(12\,cm.\)Tính diện tích xung quanh của hình nón.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Công thức tính diện tích xung quanh hình nón \({S_{xq}} = \pi Rl\) với \(R\) là bán kính đáy, \(l\) là đường sinh của hình nón và \(l = \sqrt {{R^2} + {h^2}} \) , \(h\) là chiều cao hình nón. Lời giải chi tiết :
Đường sinh của hình nón là \(l = \sqrt {{R^2} + {h^2}} = \sqrt {{5^2} + {{12}^2}} = 13.\) Diện tích xung quanh hình nón là \({S_{xq}} = \pi Rl = \pi .5.13 = 65\pi \,\,\left( {c{m^2}} \right)\)
Câu 11 :
Cho hình vẽ, MA và MB là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O,3cm} \right)\), \(MA = 4cm\). Độ dài đoạn thẳng AB là:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông. Lời giải chi tiết :
Vì MA và MB là tiếp tuyến nên \(MA = MB\) nên M thuộc trung trực của AB Mà \(OA = OB\) do cùng là bán kính nên O thuộc trung trực của AB Suy ra OM là trung trực của AB. Gọi H là giao điểm của MO và AB, ta có \(AH = BH\) Xét tam giác vuông AMO vuông tại A (do MA là tiếp tuyến) có AH là đường cao \( \Rightarrow \dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{M^2}}} + \dfrac{1}{{A{O^2}}} \Rightarrow AH = \sqrt {\dfrac{{A{M^2}.A{O^2}}}{{A{M^2} + A{O^2}}}} = \sqrt {\dfrac{{{4^2}{{.3}^2}}}{{{4^2} + {3^2}}}} = 2,4\) Suy ra \(AB = 2AH = 2.2,4 = 4,8\).
Câu 12 :
Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - 3x + 2 = 0.\) Tính tổng \(S = {x_1} + {x_2}\) và \(P = {x_1}{x_2}.\)
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng định lí Viète Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..\) Lời giải chi tiết :
Phương trình \({x^2} - 3x + 2 = 0\) có: \(a + b + c = 1 - 3 + 2 = 0\) Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 1\\{x_2} = \dfrac{c}{a} = 2\end{array} \right..\) Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = 1 + 2 = 3\\P = {x_1}{x_2} = 1.2 = 2\end{array} \right..\) Vậy \(S = 3,\,\,P = 2.\)
Câu 13 :
Số giao điểm của đường thẳng \(d:y = 12x - 9\) và parabol \(\left( P \right):y = 4{x^2}\) là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Bước 1: Giải phương trình hoành độ giao điểm. Bước 2: Số nghiệm vừa tìm được của phương trình là số giao điểm của đường thẳng và parabol Lời giải chi tiết :
Xét phương trình hoành độ giao điểm \(4{x^2} = 12x - 9 \Leftrightarrow 4{x^2} - 12x + 9 = 0\) có \(\Delta ' = 0 \) nên phương trình có nghiệm kép hay đường thẳng tiếp xúc với parabol tại 1 điểm.
Câu 14 :
Trong hình vẽ bên cho $OC \bot AB,AB = 12cm,OA = 10cm$. Độ dài $AC$ là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Dựa vào tính chất bán kính vuông góc với dây cung. Dựa vào định lí Pi-ta-go trong tam giác vuông. Lời giải chi tiết :
Vì $OC$ vuông góc với $AB$ nên $D$ là trung điểm của $AB$ (mối quan hệ giữa đường kính và dây) $ \Rightarrow AD = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{12}}{2} = 6cm$. Xét tam giác $AOD$ vuông tại $D$ nên $O{D^2} = O{A^2} - A{D^2} = {10^2} - {6^2} = 64 \Rightarrow OD = 8cm$. Có $OD + DC = OC$ nên $DC = OC - OD = 10 - 8 = 2cm$. Xét tam giác $ADC$ vuông tại $D$ nên $A{C^2} = A{D^2} + D{C^2} = {6^2} + {2^2} = 40$ . Vậy $AC = 2\sqrt {10} cm$.
Câu 15 :
Giải phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 4x + 5} = x - 2\) ta được nghiệm là
Đáp án : D Phương pháp giải :
+ Tìm điều kiện + Giải phương trình dạng \(\sqrt A = B\,\left( {B \ge 0} \right) \Leftrightarrow A = {B^2}\) Lời giải chi tiết :
Điều kiện: \(x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2.\) Ta có: \(\sqrt {2{x^2} - 4x + 5} = x - 2\)\( \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + 5 = {\left( {x - 2} \right)^2}\) \( \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + 5 = {x^2} - 4x + 4 \Leftrightarrow {x^2} + 1 = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} = - 1\,\) (vô nghiệm vì \({x^2} \ge 0\,\,\forall x\) ) Vậy phương trình vô nghiệm.
Câu 16 :
Tâm đường tròn bàng tiếp tam giác là
Đáp án : C Lời giải chi tiết :
Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với phần kéo dài của hai cạnh còn lại gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác. Tâm đường tròn bàng tiếp tam giác là giao của 1 đường phân giác góc trong và hai đường phân giác góc ngoài của tam giác
Câu 17 :
Rút gọn biểu thức \(A = 3\sqrt 8 - \sqrt {18} + 5\sqrt {\dfrac{1}{2}} + \sqrt {50} \) ta được kết quả là
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng công thức khai phương một tích, khai phương một thương, trục căn thức ở mẫu + Khai phương một tích: \(\sqrt {A.B} = \sqrt A .\sqrt B {\rm{ }}(A \ge 0,B \ge 0)\) + Khai phương một thương: \(\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}{\rm{ }}(A \ge 0,B > 0)\) + Với \(A.B \ge 0\) và \(B \ne 0\) thì \(\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{{\left| B \right|}}\) Lời giải chi tiết :
\(A = 3\sqrt 8 - \sqrt {18} + 5\sqrt {\dfrac{1}{2}} + \sqrt {50} \) \( = 3\sqrt {4.2} - \sqrt {9.2} + 5 \dfrac{\sqrt 2}{2} + \sqrt {25.2} \) \( = 6\sqrt 2 - 3\sqrt 2 + \dfrac{5}{2}\sqrt 2 + 5\sqrt 2 \) \( = \left( {6 - 3 + \dfrac{5}{2} + 5} \right).\sqrt 2 \) \( = \dfrac{{21}}{2}\sqrt 2 \)
Câu 18 :
Cho đường tròn $\left( {O;3cm} \right)$, lấy điểm $A$ sao cho $OA = 6cm$. Từ \(A\) vẽ tiếp tuyến $AB,AC$ đến đường tròn $\left( O \right)$ ($B,C$ là tiếp điểm). Chu vi tam giác $ABC$ là
Đáp án : B Phương pháp giải :
Dựa vào tính chất tiếp tuyến của đường tròn Định lí Pi-ta-go Hệ thức lượng trong tam giác vuông Cách tính chu vi hình tam giác Lời giải chi tiết :
 Gọi $D$ là giao điểm của $BC$ và $OA$ Có $OC \bot AC$ (tính chất tiếp tuyến của đường tròn) Xét $\Delta OAC$ vuông tại \(C\), ta có: $O{C^2} + C{A^2} = O{A^2}$ (Py-ta-go) \( \Rightarrow A{C^2} = {\rm{ }}O{A^2} - {\rm{ }}O{C^2} = {6^2} - {3^2} = 36 - 9 = 27 \Rightarrow AC = 3\sqrt 3 cm\) Mà $AC=AB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên $AB = 3\sqrt 3 cm$. Vì $AC=AB;OB=OC$ nên $OA$ là đường trung trực của $BC$ hay $OA \bot BC$ tại $D$ và $D$ là trung điểm của $CB.$ Xét tam giác vuông $OCA$ có $CD$ là đường cao nên: \(CD = \dfrac{{OC.CA}}{{OA}} = \dfrac{{3.3\sqrt 3 }}{6} = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow BC = 2CD = 3\sqrt 3 cm\) Vậy chu vi tam giác $ABC$ là $3\sqrt 3 + 3\sqrt 3 + 3\sqrt 3 = 9\sqrt 3 cm$
Câu 19 :
Cho tứ giác ABCD có số đo các góc A, B, C, D lần lượt như sau. Trường hợp nào thì tứ giác ABCD có thể là tứ giác nội tiếp.
Đáp án : B Phương pháp giải :
Áp dụng tính chất tứ giác nội tiếp có tổng hai góc đối diện bằng \({180^0}.\) Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp thì: \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat A + \widehat C = {180^0}\\\widehat B + \widehat D = {180^0}\end{array} \right..\) Lời giải chi tiết :
Xét các đáp án ta có: +) Đáp án A: \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat A + \widehat C = {50^0} + {130^0} = {180^0}\\\widehat B + \widehat D = {60^0} + {140^0} = {200^0}\end{array} \right. \) nên loại đáp án A. +) Đáp án B: \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat A + \widehat C = {65^0} + {115^0} = {180^0}\\\widehat B + \widehat D = {85^0} + {95^0} = {180^0}\end{array} \right. \) nên đáp án B đúng. +) Đáp án C: \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat A + \widehat C = {82^0} + {98^0} = {180^0}\\\widehat B + \widehat D = {90^0} + {100^0} = {190^0}\end{array} \right. \) nên loại đáp án C.
Câu 20 :
Hai bạn A và B đi xe máy khởi hành từ $2$ địa điểm cách nhau $210{\rm{ }}km,$ đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau $3h.$ Tìm vận tốc của mỗi người biết nếu $A$ tăng vận tốc thêm $5{\rm{ }}km/h$ và B giảm vận tốc $5km/h$ thì vận tốc của $A$ bằng vận tốc của $B.$
Đáp án : C Phương pháp giải :
Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: Bước 1: Lập hệ phương trình 1) Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm) 2) Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết 3) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2: Giải hệ phương trình Sử dụng các phương pháp thế, cộng đại số, đặt ẩn phụ… Bước 3: Kết luận Lời giải chi tiết :
Gọi vận tốc của $A$ và $B$ lần lượt là $x,{\rm{ }}y{\rm{ }}\left( {km/h;{\rm{ }}x,{\rm{ }}y > 0} \right)$ Hai người đi ngược chiều và gặp nhau sau $3h$ nên ta có phương trình : $3x + 3y = 210\,\,(1)$ Nếu A tăng vận tốc thêm $5{\rm{ }}km/h$ và $B$ giảm vận tốc $5km/h$ thì vận tốc của $A$ bằng vận tốc của $B$ nên ta có phương trình: $x + 5 = y - 5\,\,\,\,(2)$ Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}3x + 3y = 210\\x + 5 = y - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 70\\x - y = - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = 60\\x + y = 70\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 30\\y = 40\end{array} \right.(tmdk)$ Vậy vận tốc của A và B lần lượt là $30km/h$ và $40km/h.$
Câu 21 :
Một hình trụ có chiều cao bằng đường kính đáy. Biết thể tích của nó là \(54\pi \,\left( {c{m^3}} \right).\) Tính diện tích toàn phần của hình trụ.
Đáp án : D Phương pháp giải :
Hình trụ có bán kính đáy $R$ và chiều cao \(h\) có diện tích toàn phần là \({S_{tp}} = 2\pi {R^2}h + 2\pi {R^2}\), thể tích là \(V = \pi {R^2}h.\) Lời giải chi tiết :
Gọi hình trụ có bán kính đáy $R$ và chiều cao \(h\) , từ đề bài suy ra \(h = 2R\) . Khi đó \(V = \pi {R^2}h \Leftrightarrow \pi .{R^2}.2R = 54\pi \Rightarrow {R^3} = 27 \Rightarrow R = 3\,cm\) nên \(h = 2R = 6\,cm.\) Diện tích toàn phần của hình trụ là \({S_{tp}} = 2\pi .Rh + 2\pi {R^2} = 2\pi .3.6 + 2\pi {.3^2} = 54\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\)
Câu 22 :
Cho một tam giác đều \(ABC\) có cạnh \(AB = 12cm\), đường cao \(AH\). Khi đó thể tích hình cầu được tạo thành khi quay nửa đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) một vòng quanh \(AH\).
Đáp án : D Phương pháp giải :
Công thức thể tích hình cầu \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\) Lời giải chi tiết :
 Vì \(\Delta ABC\) là tam giác đều cạnh 12cm nên tâm đường tròn nội tiếp trùng với trọng tâm \(O\) của tam giác và bán kính \(R = \dfrac{{12\sqrt 3 }}{6} = 2\sqrt 3\) Khi quay nửa đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ một vòng quanh $AH$ ta được hình cầu bán kính \(R = 2\sqrt 3\) Suy ra \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{4}{3}\pi .{\left( 2\sqrt 3 \right)^3} = 32 \pi \sqrt 3 (cm^3)\)
Câu 23 :
Điểm nào sau đây thuộc ĐTHS $y = 2{\rm{x}} + 1$:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng kiến thức: Điểm $({x_0};{y_0})$ thuộc ĐTHS $y = {\rm{ax}} + b \Leftrightarrow {\rm{a}}{{\rm{x}}_0} + b = {y_0}$. Lời giải chi tiết :
Đáp án A: Thay $ x_0=0;y_0=1$ vào hàm số, ta có $ 2.0 + 1 = 1 \Rightarrow (0;1)$ thuộc ĐTHS đã cho.
Câu 24 :
Cho đường thẳng $d:y = x - 1$. Khi đó khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng đã cho là:
Đáp án : C Phương pháp giải :
- Tìm giao điểm của đường thẳng với trục hoành, trục tung - Dựng hình chiếu của tam giác được tạo thành - Áp dụng hệ thức trong tam giác vuông để tính khoảng cách từ điểm $O$ đến $1$ đường thẳng. Lời giải chi tiết :
 Ta có: $d \cap Ox$ tại $A(1;0) \Rightarrow OA = 1$ $d \cap Oy $ tại $ B(0; - 1) \Rightarrow OB = 1$ Ta có $OA \bot OB$. Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ trên đường thẳng $AB$. Áp dụng hệ thức trong tam giác ta có: $\begin{array}{l}\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} = \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{1} = 2\\ \Rightarrow OH = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array}$
Câu 25 :
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 21\,cm$; $\widehat C = 40^\circ $ , phân giác \(BD\) (\(D\) thuộc \(AC\) ). Độ dài phân giác $BD$ là (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
Đáp án : D Phương pháp giải :
+ Tính góc \(ABC\) từ đó suy ra góc \(ABD\) + Sử dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông \(ABD\) để tính \(BD.\) Lời giải chi tiết :
 Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(\widehat {ABC} + \widehat C = 90^\circ \Rightarrow \widehat {ABC} = 50^\circ \) Mà \(BD\) là phân giác góc \(ABC\) nên \(\widehat {ABD} = \dfrac{1}{2}\widehat {ABC} = 25^\circ \) Xét tam giác \(ABD\) vuông tại \(A\) ta có \(BD = \dfrac{{AB}}{{\cos \widehat {ABD}}} = \dfrac{{21}}{{\cos 25^\circ }} \approx 23,2\,cm\)
Câu 26 :
Cho hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = 2x - 3\) và \(\left( {{d_2}} \right):y = - \dfrac{1}{2}x + 2\) Tìm \(m\) để ba đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\), \(\left( {{d_2}} \right)\) và \(\left( {{d_3}} \right):y = 3x - 2m - 3\) đồng quy.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị \((d_1);(d_2)\) để tìm \(x,\) thay giá trị \(x\) vừa tìm được vào 1 trong hai phương trình để tìm \(y.\) Ba đường thẳng đồng quy khi và chỉ khi đường thẳng thứ ba đi qua giao điểm của hai đường thẳng còn lại. Lời giải chi tiết :
Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\): \(2x - 3 = - \dfrac{1}{2}x + 2 \Leftrightarrow 2x + \dfrac{1}{2}x = 2 + 3 \Leftrightarrow \dfrac{5}{2}x = 5 \Leftrightarrow x = 2\) Thay \(x = 2\) vào hàm số \(y = 2x - 3\) ta được \(y = 2.2 - 3 = 1.\) Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) là \(A\left( {2;1} \right)\). Ba đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) , \(\left( {{d_2}} \right)\) và \(\left( {{d_3}} \right):y = 3x - 2m - 3\) đồng quy \( \Rightarrow \left( {{d_3}} \right)\) đi qua giao điểm của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\)\( \Rightarrow A \in \left( {{d_3}} \right)\) Thay tọa độ điểm \(A\) vào hàm số \(\left( {{d_3}} \right):\,\,y = 3x - 2m - 3\) ta được: \(1 = 3.2 - 2m - 3\)\( \Rightarrow 2m = 6 - 3 - 1 \Rightarrow m = 1\) Vậy \(m = 1\) thì ba đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) , \(\left( {{d_2}} \right)\) và \(\left( {{d_3}} \right):y = 3x - 2m - 3\) đồng quy.
Câu 27 :
Cặp số \(\left( {x;y} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 4y = - 2\\2x + y = 6\end{array} \right.\) là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số. Lời giải chi tiết :
\(\left\{ \begin{array}{l}3x - 4y = - 2\\2x + y = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 4y = - 2\\8x + 4y = 24\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 4y = - 2\\11x = 22\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = \dfrac{{3x + 2}}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2\end{array} \right.\)
Câu 28 :
Gọi \({x_1};{x_2}\) là nghiệm của phương trình \(2{x^2} - 11x + 3 = 0\). Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức \(A = x_1^2 + x_2^2\)
Đáp án : A Phương pháp giải :
Bước 1: Sử dụng định lí Viète Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..\) Bước 2: Sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng để biến đổi \(A = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\). Lời giải chi tiết :
Phương trình \(2{x^2} - 11x + 3 = 0\) có \(\Delta = {\left( { - 11} \right)^2} - 4.2.3 = 97 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) Theo định lí Viète, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{-(-11)}}{2}= \dfrac{{11}}{2}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\). Ta có: \(A = x_1^2 + x_2^2 = \left( x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 \right) - 2{x_1}{x_2} \\= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} \\= {\left( {\dfrac{{11}}{2}} \right)^2} - 2.\dfrac{3}{2} = \dfrac{{109}}{4}\)
Câu 29 :
Đường tròn ngoại tiếp hình vuông cạnh bằng 2 có bán kính là.
Đáp án : C Phương pháp giải :
Nắm vững định nghĩa đường tròn ngoại tiếp và sử dụng định lý Pi-ta-go để tính cạnh huyền của tam giác vuông cân Lời giải chi tiết :
 Hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn \(\left( O \right) \Rightarrow O\) là tâm của hình vuông Vì ABCD là hình vuông nên 2 đường chéo vuông góc với nhau, đồng thời chúng bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường \( \Rightarrow OA \bot OB\) và OA = OB \( \Rightarrow \Delta OAB\) vuông cân tại O Gọi R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp (O), ta có $AB = OA\sqrt 2 = R\sqrt 2 \Rightarrow R = \dfrac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{2}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 $
Câu 30 :
Cho tam giác \(ABC\) không cân, nội tiếp đường tròn \(\left( O \right),\,\,BD\) là đường phân giác của góc \(\widehat {ABC}.\) Đường thẳng \(BD\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(E.\) Đường tròn \(\left( {{O_1}} \right)\) đường kính \(DE\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(F.\) Khi đó đường thẳng đối xứng với đường thẳng \(BF\) qua đường thẳng \(BD\) cắt \(AC\) tại \(N\) thì:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Chứng minh \(N\) là trung điểm của \(AC\) bằng cách gọi \(M\) là trung diểm của \(AC\) rồi chứng minh \(\widehat {FBE} = \widehat {MBE}\), từ đó suy ra \(BM\) đối xứng với \(BF\) qua \(BE\). Lời giải chi tiết :
 Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC.\) Do \(E\) là điểm chính giữa cung \(AC\) nên \(EM \bot AC.\) Do đó \(EM\) đi qua tâm của đường tròn \(\left( O \right).\) Giả sử rằng \(G = DF \cap \left( O \right).\) Do \(\widehat {DFE} = {90^0},\) nên \(\widehat {GFE} = {90^0},\) hay \(GE\) là đường kính của \(\left( O \right).\) Suy ra \(G,M,E\) thẳng hàng. Vì vậy \(\widehat {GBE} = {90^0},\) mà \(\widehat {GMD} = {90^0}.\) Kéo theo tứ giác \(BDMG\) là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính \(GD.\) Vì vậy \(\widehat {MBD} = \widehat {DGM} = \widehat {FGE}\,\,\left( 1 \right)\) (cùng chắn cung \(DM)\) Lại có tứ giác \(BFEG\) là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat {FBE} = \widehat {FGE}\,\,\left( 2 \right)\,\) ( cùng chắn cung \(FE\) ). Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta suy ra \(\widehat {MBD} = \widehat {FBE}.\) Do đó \(BF\) và \(BM\) đối xứng nhau qua \(BD.\) Vì vậy \(M \equiv N\) hay \(N\) là trung điểm của \(AC\) nên \(AN = NC.\)
Câu 31 :
Chọn câu sai.
Đáp án : B Phương pháp giải :
Áp dụng các công thức liên quan đến hình nón và hình cầu Lời giải chi tiết :
Ta có + Thể tích hình nón có chiều cao \(h\) và bán kính đáy \(R\) là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h\) nên A đúng + Diện tích hình cầu có bán kính \(R\) là \(S = 4\pi {R^2}\) nên C đúng + Đường sinh của hình nón có chiều cao \(h\) và bán kính đáy \(R\) là \(l = \sqrt {{R^2} + {h^2}} \) nên D đúng + Thể tích khối cầu có bán kính \(R\) là \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\) nên B sai.
Câu 32 :
Biệt thức \(\Delta '\) của phương trình \(3{x^2} - 2mx - 1 = 0\) là
Đáp án : A Phương pháp giải :
Phương trình \(a{x^2} + 2b'x + c = 0\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có: \(\Delta ' = b{'^2} - ac.\) Lời giải chi tiết :
Phương trình \(3{x^2} - 2mx - 1 = 0\) có \(\Delta ' = b{'^2} - ac = {m^2} + 3.\)
Câu 33 :
Cho hình vẽ. Khi đó đáp án đúng là
Đáp án : B Phương pháp giải :
- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau. - Tổng ba góc trong một tam giác bằng \({180^0}\). Lời giải chi tiết :
Do tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn tâm \(O,\) nên ta có $\widehat {CAD} = \widehat {CBD}$ (cùng chắn cung \(CD\) ). Do đó ta có \(\widehat {CAD} = {40^0}.\) Áp dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác bằng \({180^0}\) vào tam giác ACD, ta có: $\widehat {CAD} + \widehat {ACD} + \widehat {ADC} = {180^0}$ Suy ra \( \widehat {ADC} = {180^0} - \left( {\widehat {CAD} + \widehat {ACD}} \right) \) \(= {180^0} - \left( {{{40}^0} + {{60}^0}} \right) = {80^0}\)
Câu 34 :
Tìm \(m\) để phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4m = 0\) (\(x\) là ẩn, \(m\) là tham số) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^3 - x_1^2 = x_2^3 - x_2^2\).
Đáp án : C Phương pháp giải :
Phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) khi \( \Delta ' > 0\,.\) Áp dụng định lí Viète ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right..\) Áp dụng biểu thức đề bài để tìm \(m.\) Đối chiếu với điều kiện có nghiệm của phương trình rồi kết luận. Lời giải chi tiết :
Phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2} \) khi \(\Delta ' > 0\) Ta có: \( {\left( {m + 1} \right)^2} - 4m = {\left( {m - 1} \right)^2} \) với mọi \( m \in \mathbb{R}\) Suy ra phương trình có hai nghiệm hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi \(m.\) Áp dụng định lí Viète ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m + 2\\{x_1}{x_2} = 4m\end{array} \right..\) Theo đề bài ta có: \(x_1^3 - x_1^2 = x_2^3 - x_2^2 \) suy ra \(x_1^3 - x_2^3 - \left( {x_1^2 - x_2^2} \right) = 0\) \(\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2} \right) - \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 0\\ \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left[ {x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2 - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)} \right] = 0\\ \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - {x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)} \right] = 0\) \(x_1 - x_2 = 0\) hoặc \({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - {x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 0\) \({x_1} = {x_2}\) hoặc \({\left( {2m + 2} \right)^2} - 4m - 2m - 2 = 0\) Suy ra \(\Delta ' = 0\) hoặc \(4{m^2} + 8m + 4 - 6m - 2 = 0\) \((m - 1)^2 = 0\) hoặc \(4{m^2} + 2m + 2 = 0\) Mà phương trình \(4{m^2} + 2m + 2 = 0\) vô nghiệm nên \(m - 1 = 0\) Suy ra \(m = 1\) Vậy \(m = 1\) thỏa mãn bài toán.
Câu 35 :
Cho hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm. Chọn khẳng định sai?
Đáp án : B Lời giải chi tiết :
Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì: - Điểm đó cách đều hai tiếp điểm. - Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của các góc tạo bởi hai tiếp tuyến. - Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm.
Câu 36 :
Cho $3$ điểm $A(0;3),B(2;2);C(m + 3;m)$. Giá trị của $m$ để $3$ điểm $A,B,C$ thẳng hàng là:
Đáp án : A Phương pháp giải :
- Viết phương trình đường thẳng $(d)$ đi qua 2 điểm cho trước $A;B$. - Để $3$ điểm $A;B;C$ thẳng hàng thì $C \in (d)$ Lời giải chi tiết :
Gọi $d:y = {\rm{ax}} + b$ là đường thẳng đi qua $A$ và $B$. $\begin{array}{l}A(0;3) \in d \Leftrightarrow a.0 + b = 3 \Leftrightarrow b = 3\\B(2;2) \in d \Leftrightarrow a.2 + b = 2\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 3\\2a + b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 3\\a = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow d:y = - \dfrac{1}{2}x + 3\end{array}$ Để $3$ điểm $A,B,C$ thẳng hàng thì $C(m + 3;m) \in (d):y = - \dfrac{1}{2}x + 3$ $ \Leftrightarrow m = - \dfrac{1}{2}\left( {m + 3} \right) + 3 \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}m = \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow m = 1$. Vậy $m = 1$.
Câu 37 :
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\)cho hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = {m^2}x - {m^4} + 2\) và \(\left( {{d_2}} \right):y = \dfrac{{{m^2}}}{{{m^2} + 1}}x + 2\) (\(m\) là tham số thực khác 0). Tìm tất cả giá trị của tham số \(m\) để \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) cắt nhau tại một điểm A duy nhất sao cho diện tích của hình thang \(ABHK\) bằng \(\dfrac{{15}}{2}.\) Biết \(B\left( { - 1;2} \right)\) và hai điểm \(H,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(B\) và A lên trục hoành.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Tìm tọa độ giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\)và \(\left( {{d_2}} \right)\) theo \(m.\) Rối sử dụng công thức tính diện tích hình thang để tìm \(m.\) Lời giải chi tiết :
Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\)và \(\left( {{d_2}} \right)\) là: \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{m^2}x - {m^4} + 2 = \dfrac{{{m^2}}}{{{m^2} + 1}}x + 2\\ \Leftrightarrow {m^2}\left( {{m^2} + 1} \right)x - {m^2}x = {m^4}\left( {{m^2} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {m^2}x = {m^2}\left( {{m^2} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow x = {m^2} + 1\,\,\,\,\,\left( {m \ne 0} \right)\\ \Rightarrow y = {m^2} + 2 \Rightarrow A\left( {{m^2} + 1;{m^2} + 2} \right)\end{array}\)
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B, A lên \(Ox\) nên \(H\left( { - 1;0} \right),K\left( {{m^2} + 1;0} \right)\) \(\begin{array}{l}{S_{ABHK}} = \dfrac{{15}}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {AK + BH} \right)HK}}{2} = \dfrac{{15}}{2}\\ \Leftrightarrow \left( {AK + BH} \right)HK = 15\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 4} \right)\left( {{m^2} + 2} \right) = 15\\ \Leftrightarrow {m^4} + 6{m^2} + 8 = 15\\ \Leftrightarrow {m^4} + 6{m^2} - 7 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 1} \right)\left( {{m^2} + 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} - 1 = 0\\{m^2} + 7 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} = 1 \Rightarrow m = \pm 1\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\{m^2} = - 7\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\) Vậy \(m = \pm 1.\) |
