Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 10 - Chân trời sáng tạo

Đề khảo sát chất lượng đầu năm Toán 10 Chân trời sáng tạo - Đề số 1

Đề bài

Câu 1 :

Trên một hệ trục toạ độ, vẽ parabol $\left( P \right)$ có đỉnh $O$ và đi qua $A\left( \sqrt{3};-3 \right)$. Hoành độ điểm thuộc $\left( P \right)$ có tung độ bằng $-2$ là:

A

$x = \sqrt 2;x = - \sqrt 2$
B

$x = \sqrt 3 ; x = - \sqrt 3 $
C

$x = 1;x = - 1$
D

$x = 2;x = - 2$

Câu 2 :

Giá trị của hàm số $y = 2{x^2}$ tại $x = 3$ là

A
$9$
B
$12$
C
$18$
D
$6$

Câu 3 :

Chọn câu sai. Cho hình trụ có bán kính đáy là $R$ và chiều cao $h$ . Khi đó

A

Diện tích xung quanh của hình trụ là ${S_{xq}} = 2\pi Rh$
B

Diện tích toàn phần của hình trụ là ${S_{tp}} = 2\pi Rh + 2\pi {R^2}$
C

Thể tích khối trụ là $V = \pi {R^2}h$
D

Thể tích khối trụ là $V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h$

Câu 4 :

Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng ba lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục $7$ đơn vị, và nếu viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại thì được một số mới (có hai chữ số) lớn hơn số cũ $9$ đơn vị.

A
$21$
B
$23$
C
$25$
D
$27$

Câu 5 :

Cho phương trình ${x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3 = 0$ ($m$ là tham số). Tìm $m$ để phương tình có hai nghiệm phân biệt cùng dương.

A
$m > 1$
B
$m > 3$
C
$m < 1$
D
$m < 3$

Câu 6 :

Cho các cặp số sau (0;-1),$(\sqrt{3};2-\sqrt{3})$,$(1;\sqrt{3}-3)$,$(\sqrt{3}+1;1)$. Cặp số nào không là nghiệm của phương trình $(\sqrt{3}-1)x-y=1$?

A
(0;-1)
B
$(\sqrt{3};2-\sqrt{3})$
C
$(1;\sqrt{3}-3)$
D

$(\sqrt{3}+1;1)$

Câu 7 :

Cho hàm số $y=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}$ có đồ thị (P) và đường thẳng (d): $y=3mx-2$.Tìm m để đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.

A

$m<\dfrac{-2}{3}$
B

$m>\dfrac{2}{3}$
C

$m<\dfrac{-2}{3}$ hoặc $m>\dfrac{2}{3}$
D

$\dfrac{-2}{3}<m<\dfrac{2}{3}$

Câu 8 :

Cho đường thẳng $d$ cắt đường tròn $\left( O \right)$ tại hai điểm phân biệt $A;\,\,B.$ Biết khoảng cách từ điểm $O$ đến đường thẳng $d$ bằng $3cm$ và độ dài đoạn thẳng $AB$ bằng $8cm.$ Bán kính của đường tròn $\left( O \right)$ bằng:

A
$7cm$
B
$11cm$
C
$73cm$
D
$5cm$

Câu 9 :

Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$và đường trung tuyến $AM$. Biết $AH = 3cm;\,HB = 4cm.$ Hãy tính $AB,AC,AM$ và diện tích tam giác $ABC.$

A

$AB = 5cm,\,\,AC = \dfrac{{15}}{4}cm,\,\,AM = \dfrac{{25}}{8}cm,$${S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{75}}{8}\,\,c{m^2}$
B

$AB = 5cm,\,\,AC = 3cm,\,\,AM = 4cm,$${S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{39}}{4}\,\,c{m^2}$
C

$AB = \dfrac{{14}}{3}cm,\,\,AC = \dfrac{{14}}{4}cm,\,\,AM = 3cm,$${S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{75}}{8}\,\,c{m^2}$
D

$AB = \dfrac{{14}}{3}cm,\,\,AC = 3cm,\,\,AM = \dfrac{{27}}{8}cm,$${S_{\Delta ABC}} = 9\,\,c{m^2}$

Câu 10 :

Đường thẳng $a$ cách tâm $O$ của đường tròn $\left( {O;R} \right)$một khoảng bằng $\sqrt 8 \,\,cm.$ Biết $R = 3\,\,cm,$ số giao điểm của đường thẳng $a$ và đường tròn $\left( {O;R} \right)$ là:

A
$0$
B
$1$
C
$2$
D
$3$.

Câu 11 :

Cho hình thang cân $ABCD\,\,\,\left( {AB\parallel CD} \right);$ $CD = 2AD = 2AB = 8$. Tính diện tích của hình thang đó.

A
$12\sqrt 2 $
B
$12\sqrt 3 $
C
$12$
D
$12\sqrt 6 $

Câu 12 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AC = 3,AB = 4$. Khi đó $\cos B$ bằng

A

$\dfrac{3}{4}$
B

$\dfrac{3}{5}$
C

$\dfrac{4}{3}$
D

$\dfrac{4}{5}$

Câu 13 :

Giá trị của biểu thức $P = {\cos ^2}{20^0} + {\cos ^2}{40^0} + {\cos ^2}{50^0} + {\cos ^2}{70^0}$ bằng

A
$0$
B
$1$
C
$2$
D
$3$

Câu 14 :

Cho hàm số $y = ax$ có đồ thị như hình bên. Giá trị của $a$ bằng:

A
$a = 3$
B
$a = - 3$
C

$a = \dfrac{1}{3}$
D

$a = - \dfrac{1}{3}$

Câu 15 :

Phân tích đa thức $5{x^2}{y^3} - 25{x^3}{y^4} + 10{x^3}{y^3}$ thành nhân tử ta được:

A

$5{x^2}{y^3}\left( {1 - 5xy + 2x} \right)$
B

$5{x^2}{y^3}\left( { - 5xy + 2x} \right)$
C

${x^2}{y^3}\left( {1 - 5xy + 2x} \right)$
D

$5{x^2}{y^3}\left( {1 - xy + x} \right)$

Câu 16 :

Cho các biểu thức : $P = \left( {\dfrac{{3\sqrt x }}{{x\sqrt x + 1}} - \dfrac{{\sqrt x }}{{x - \sqrt x + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}}} \right):\dfrac{{\sqrt x + 3}}{{x - \sqrt x + 1}}\,\,\,\left( {x \ge 0} \right)$
Rút gọn biểu thức $P.$ Tìm các giá trị của $x$ để $P \ge \dfrac{1}{5}$.

A

$P = \dfrac{1}{\sqrt{x} + 3}\,\,;\,\,0 \le x \le 4$
B

$P = \dfrac{1}{\sqrt{x} + 3}\,\,;\,\,0 \le x \le 2$
C

$P = \dfrac{1}{\sqrt{x} + 1}\,\,;\,\,0 \le x \le 2$
D

$P = \dfrac{1}{\sqrt{x} + 1}\,\,;\,\,0 \le x \le 4$

Câu 17 :

$x = - 2$ là một nghiệm của bất phương trình nào dưới đây?

A

$3x + 17 < 5$
B

$ - 2x + 1 < - 1$
C

$\dfrac{1}{2}x + 5 > 3,5$
D

$1 - 2x < - 3$

Câu 18 :

Cho $\Delta MNP \backsim \Delta HGK$ có tỉ số chu vi: $\dfrac{{{P_{\Delta MNP}}}}{{{P_{\Delta HGK}}}} = \dfrac{2}{7}.$ Chọn câu đúng.

A

$\dfrac{{HG}}{{MN}} = \dfrac{7}{2}$
B

$\dfrac{{{S_{\Delta MNP}}}}{{{S_{\Delta HGK}}}} = \dfrac{2}{7}$
C

$\dfrac{{{S_{\Delta MNP}}}}{{{S_{\Delta HGK}}}} = \dfrac{{49}}{4}$
D

$\dfrac{{NP}}{{GK}} = \dfrac{5}{7}$

Câu 19 :

Căn bậc hai số học của 4 là:

A

$ - 2$
B

$2$
C

$16$
D

$ \pm 2$

Câu 20 :

Cho phương trình $m{x^2} + 4(m - 1)x + 2m - 2 = 0$ có nghiệm bằng 1 nếu m nhận giá trị nào dưới đây ?

A

$\displaystyle {7 \over 6}$
B

$-\displaystyle {7 \over 6}$
C

$-\displaystyle {6 \over 7}$
D

$\displaystyle {6 \over 7}$

Câu 21 :

Một hình hộp chữ nhật có thể tích $192cm^3,$ mặt đáy có chiều dài 6cm và chiều rộng $4cm.$ Chiều cao hình hộp chữ nhật đó là:

A

$7\,cm$
B

$9\,cm$
C

$6\,cm$
D

$8\,cm$

Câu 22 :

Cho hai đường tròn $\left( O \right)$ và $\left( {O'} \right)$ tiếp xúc ngoài tại $A$. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài $BC,B \in \left( O \right)$ và $C \in (O')$. Tiếp tuyến chung trong tại $A$ cắt tiếp tuyến chung ngoài $BC$ tại $I$. Tính độ dài $BC$ biết $OA = 9cm,O'A = 4cm$.

A
$12cm$
B
$18cm$
C
$10cm$
D

$6cm$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

A

$x = \sqrt 2;x = - \sqrt 2$
B

$x = \sqrt 3 ; x = - \sqrt 3 $
C

$x = 1;x = - 1$
D

$x = 2;x = - 2$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Parabol có đỉnh $O$ nên có dạng $y=a{{x}^{2}}\left( a\ne 0 \right)$

Sử dụng tính chất điểm thuộc đồ thị thì toạ độ thoả mãn phương trình của hàm số

Lời giải chi tiết :

Vì parabol có đỉnh $O$ nên có dạng $y=a{{x}^{2}}\left( a\ne 0 \right)$.

Vì $\left( P \right)$ đi qua $A\left( \sqrt{3};-3 \right)$ nên toạ độ điểm $A$ thoả mãn phương trình hàm số.

Thay tọa độ điểm $A\left( \sqrt{3};-3 \right)$ vào hàm số, ta được:

$-3=a{{(\sqrt{3})}^{2}}\\ a=-1$

Ta được hàm số $y=-{{x}^{2}}$.

Thay $y=-2$ vào hàm số ta được $-2=-{{x}^{2}}$ suy ra $ {{x}^{2}}=2$

Do đó $x=\sqrt{2} $ hoặc $x=-\sqrt{2}$

Câu 2 :

Giá trị của hàm số $y = 2{x^2}$ tại $x = 3$ là

A
$9$
B
$12$
C
$18$
D
$6$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Thay $x = 3$ vào hàm số để tính giá trị của hàm số tại $x = 3$.

Lời giải chi tiết :

Thay $x = 3$ vào hàm số $y = 2{x^2}$ ta có: $y = {2.3^2} = 18$.

Vậy giá trị của hàm số $y = 2{x^2}$ tại $x = 3$ là $18$.

Câu 3 :

Chọn câu sai. Cho hình trụ có bán kính đáy là $R$ và chiều cao $h$ . Khi đó

A

Diện tích xung quanh của hình trụ là ${S_{xq}} = 2\pi Rh$
B

Diện tích toàn phần của hình trụ là ${S_{tp}} = 2\pi Rh + 2\pi {R^2}$
C

Thể tích khối trụ là $V = \pi {R^2}h$
D

Thể tích khối trụ là $V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h$

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Ta có hình trụ có bán kính đáy là $R$ và chiều cao $h$ . Khi đó

+ Diện tích xung quanh của hình trụ là ${S_{xq}} = 2\pi Rh$ nên A đúng

+ Diện tích toàn phần của hình trụ là ${S_{tp}} = 2\pi Rh + 2\pi {R^2}$ nên B đúng

+ Thể tích khối trụ là $V = \pi {R^2}h$ nên C đúng, D sai.

Câu 4 :

A
$21$
B
$23$
C
$25$
D
$27$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Gọi chữ số hàng đơn vị và hàng chục của số cần tìm là $x$ và $y$$\left( {x,y \in \mathbb{N}*,\,\,\,x,y \le 9} \right).$

Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các đại lượng đã biết và các ẩn vừa gọi.

Dựa vào giả thiết của bài để lập hệ phương trình.

Giải hệ phương trình để tìm các ẩn, đối chiều với điều kiện rồi kết luận.

Lời giải chi tiết :

Gọi chữ số hàng đơn vị và hàng chục của số cần tìm là $x$ và $y$$\left( {x,y \in \mathbb{N}*,\,\,\,x,y \le 9} \right).$

Ba lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục 7 đơn vị nên ta có phương trình: $3x - y = 7\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Số cũ có dạng $10y + x$

Sau khi viết hai chữ số đó theo thứ tự ngược lại ta được số mới có dạng $10x + y$

Số mới (có hai chữ số) lớn hơn số cũ 9 đơn vị nên ta có phương trình:

$10x + y - \left( {10y + x} \right) = 9 \\ 9x - 9y = 9 \\ x - y = 1\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}3x - y = 7\\x - y = 1\end{array} \right. \end{array}$

Từ phương trình (2) ta có: $y = x - 1$

Thế vào phương trình (1), ta được phương trình:

$3x - \left( {x - 1} \right) = 7\\3x - x + 1 = 7\\x = 3 \;(TM)$

Suy ra $ y = 3 - 1 = 2 \;(TM)$

Vậy số cần tìm là $23.$

Câu 5 :

Cho phương trình ${x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3 = 0$ ($m$ là tham số). Tìm $m$ để phương tình có hai nghiệm phân biệt cùng dương.

A
$m > 1$
B
$m > 3$
C
$m < 1$
D
$m < 3$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$ có hai nghiệm phân biệt cùng dương $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{x_1} + {x_2} > 0\\{x_1}{x_2} > 0\end{array} \right..$

Lời giải chi tiết :

Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dương $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{x_1} + {x_2} > 0\\{x_1}{x_2} > 0\end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b{'^2} - ac > 0\\\dfrac{{ - b}}{a} > 0\\\dfrac{c}{a} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {m - 3} \right) > 0\\2\left( {m - 1} \right) > 0\\m - 3 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 2m + 1 - m + 3 > 0\\m - 1 > 0\\m > 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 3m + 4 > 0\\m > 1\\m > 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} > 0\,\,\forall m\\m > 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 3\end{array}$

Vậy $m > 3$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt cùng dương.

Câu 6 :

Cho các cặp số sau (0;-1),$(\sqrt{3};2-\sqrt{3})$,$(1;\sqrt{3}-3)$,$(\sqrt{3}+1;1)$. Cặp số nào không là nghiệm của phương trình $(\sqrt{3}-1)x-y=1$?

A
(0;-1)
B
$(\sqrt{3};2-\sqrt{3})$
C
$(1;\sqrt{3}-3)$
D

$(\sqrt{3}+1;1)$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Thay các cặp số đã cho vào phương trình. Cặp nào thỏa mãn thì là nghiệm của phương trình đã cho.

Lời giải chi tiết :

$(\sqrt{3}-1)x-y=1\,\,\,\,\,\,(1)$

Thay x = 0, y = -1 vào vế trái của (1) ta được: $(\sqrt{3}-1).0-(-1)=0+1=1$ .

Vậy (0; -1) là nghiệm của (1).

Thay $(\sqrt{3},2-\sqrt{3})$ vào vế trái của (1) ta được: $(\sqrt{3}-1).\sqrt{3}-(2-\sqrt{3})=3-\sqrt{3}-2+\sqrt{3}=1$.

Vậy $(\sqrt{3},2-\sqrt{3})$ là nghiệm của (1).

Thay $(1;\sqrt{3}-3)$ vào vế trái của (1) ta được: $(\sqrt{3}-1).1-(\sqrt{3}-3)=\sqrt{3}-1-\sqrt{3}+3=2\ne 1$.

Vậy $(1;\sqrt{3}-3)$không là nghiệm của (1).

Thay $(\sqrt{3}+1;1)$ vào vế trái của (1) ta được: $(\sqrt{3}-1).(\sqrt{3}+1)-1=3-1-1=1$.

Vậy $(\sqrt{3}+1;1)$ là nghiệm của (1).

Câu 7 :

Cho hàm số $y=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}$ có đồ thị (P) và đường thẳng (d): $y=3mx-2$.Tìm m để đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.

A

$m<\dfrac{-2}{3}$
B

$m>\dfrac{2}{3}$
C

$m<\dfrac{-2}{3}$ hoặc $m>\dfrac{2}{3}$
D

$\dfrac{-2}{3}<m<\dfrac{2}{3}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d). Áp dụng điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt. Từ đó tìm giá trị của tham số m.

Lời giải chi tiết :

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):

$\begin{align} & \,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{2}{{x}^{2}}=3mx-2 \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}-6mx+4=0\,\,\,\,\,\,\,(1) \\ \end{align}$

Để (d) và (P) có 2 giao điểm thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt:

$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \Delta ' > 0\\
\Leftrightarrow 9{m^2} - 4 > 0\\
\Leftrightarrow (3m - 2)(3m + 2) > 0
\end{array}$

$\Leftrightarrow m<\dfrac{-2}{3}$ hoặc $m>\dfrac{2}{3}$.

Vậy với $m<\dfrac{-2}{3}$ hoặc $m>\dfrac{2}{3}$ thì đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.

Câu 8 :

A
$7cm$
B
$11cm$
C
$73cm$
D
$5cm$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng mối liên hệ giữa đường kính và dây cung

Sử dụng định lý Pytago để tính toán

Lời giải chi tiết :

Kẻ $OH \bot AB.$

Khi đó ta có $H$ là trung điểm của $AB.$ (mối liên liên hệ giữa đường kính và dây cung)

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OH = 3cm\\AH = \dfrac{1}{2}AB = 4cm\end{array} \right..$

Áp dụng định lý Py-ta-go cho $\Delta AOH$ vuông tại $H$ ta có:

$\begin{array}{l}O{A^2} = A{H^2} + H{O^2} = {4^2} + {3^2} = 25\\ \Rightarrow R = OA = 5cm.\end{array}$

Câu 9 :

Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$và đường trung tuyến $AM$. Biết $AH = 3cm;\,HB = 4cm.$ Hãy tính $AB,AC,AM$ và diện tích tam giác $ABC.$

A

$AB = 5cm,\,\,AC = \dfrac{{15}}{4}cm,\,\,AM = \dfrac{{25}}{8}cm,$${S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{75}}{8}\,\,c{m^2}$
B

$AB = 5cm,\,\,AC = 3cm,\,\,AM = 4cm,$${S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{39}}{4}\,\,c{m^2}$
C

$AB = \dfrac{{14}}{3}cm,\,\,AC = \dfrac{{14}}{4}cm,\,\,AM = 3cm,$${S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{75}}{8}\,\,c{m^2}$
D

$AB = \dfrac{{14}}{3}cm,\,\,AC = 3cm,\,\,AM = \dfrac{{27}}{8}cm,$${S_{\Delta ABC}} = 9\,\,c{m^2}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng định lý Pytago, hệ thức lượng trong tam giác vuông và công thức tính diện tích tam giác.

Lời giải chi tiết :

+) Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABH vuông tại H ta có:
$\,\,\,\,\,\,\,A{B^2} = A{H^2} + H{B^2} = {3^2} + {4^2} = 25 \Rightarrow AB = 5\,\,\,\left( {cm} \right)$.
+) Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ABC với AH là đường cao ta có:
$\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{A{C^2}}} = \dfrac{1}{{A{H^2}}} - \dfrac{1}{{A{B^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{A{C^2}}} = \dfrac{1}{{{3^2}}} - \dfrac{1}{{{5^2}}} = \dfrac{{16}}{{225}} \Rightarrow AC = \dfrac{{15}}{4}\left( {cm} \right)$
+) Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABC vuông tại A ta có:
$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {5^2} + {\left( {\dfrac{{15}}{4}} \right)^2} = \dfrac{{625}}{{16}} \Rightarrow BC = \dfrac{{25}}{4}\left( {cm} \right)$.
+) Tam giác ABC vuông tại A có trung tuyến AM nên ta có: $AM = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{{25}}{8}\,\,\,\left( {cm} \right)$
+) Diện tích tam giác ABC với AH là đường cao ta có: ${S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}.3.\dfrac{{25}}{4} = \dfrac{{75}}{8}\,\,\left( {c{m^2}} \right)$.
Vậy $AB = 5cm,\,\,AC = \dfrac{{15}}{4}cm,\,\,AM = \dfrac{{25}}{8}cm,\,\,{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{75}}{8}\,\,c{m^2}$

Câu 10 :

A
$0$
B
$1$
C
$2$
D
$3$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Vị trí tương đối của đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ và đường thẳng $a:$

+) Nếu $d\left( {O;\,\,a} \right) < R \Rightarrow a$ cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.

+) Nếu $d\left( {O;\,\,a} \right) = R \Rightarrow a$ tiếp xúc với đường tròn tại 1 điểm.

+) Nếu $d\left( {O;\,\,a} \right) > R \Rightarrow a$ không cắt đường tròn.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $d\left( {O;\,\,a} \right) = \sqrt 8 ;\,\,\,\,R = 3 \Rightarrow d\left( {O;\,\,a} \right) < R$
Nên đường thẳng $a$ cắt đường tròn $\left( {O;\,\,R} \right)$ tại hai điểm phân biệt.

Câu 11 :

Cho hình thang cân $ABCD\,\,\,\left( {AB\parallel CD} \right);$ $CD = 2AD = 2AB = 8$. Tính diện tích của hình thang đó.

A
$12\sqrt 2 $
B
$12\sqrt 3 $
C
$12$
D
$12\sqrt 6 $

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Kẻ $AH,\,\,BK$ cùng vuông góc với $CD$ $\left( {H,\,\,K \in CD} \right)$. Chứng minh $ABKH$ là hình chữ nhật.

- Tính $DH,\,\,CK$.

- Áp dụng định lí Pytago tính $AH$.

- Tính diện tích hình thang: ${S_{ABCD}} = \dfrac{{\left( {AB + CD} \right).AH}}{2}$.

Lời giải chi tiết :

Kẻ $AH,\,\,BK$ cùng vuông góc với $CD$ $\left( {H,\,\,K \in CD} \right)$.

Xét tứ giác $ABKH$ có: $\left\{ \begin{array}{l}AB\parallel HK\\AH\parallel BK\end{array} \right.$, suy ra $ABKH$ là hình bình hành.

Lại có $\angle AHK = {90^0}$ nên $ABKH$ là hình chữ nhật, do đó $HK = AB = 4$.

Xét $\Delta ADH$ và $\Delta BCK$ có:

$\angle AHD = \angle BKC = {90^0}$;

$AD = BC$ (tính chất hình thang cân);

$\angle ADH = \angle ACK$ (tính chất hình thang cân).

$ \Rightarrow \Delta ADH = \Delta BCK$ (cạnh huyền – góc nhọn) $ \Rightarrow DH = CK$ (hai cạnh tương ứng).

Mà $DH + CK = CD - HK = 8 - 4 = 4$.

Do đó $DH = CK = 2$.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $ADH$ ta có:

$A{H^2} = A{D^2} - D{H^2}$ $ \Leftrightarrow A{H^2} = {4^2} - {2^2} = 12$ $ \Leftrightarrow AH = 2\sqrt 3 $.

Vậy diện tích hình thang $ABCD$ là: ${S_{ABCD}} = \dfrac{{\left( {AB + CD} \right).AH}}{2}$ $ = \dfrac{{\left( {4 + 8} \right).2\sqrt 3 }}{2} = 12\sqrt 3 $.

Câu 12 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AC = 3,AB = 4$. Khi đó $\cos B$ bằng

A

$\dfrac{3}{4}$
B

$\dfrac{3}{5}$
C

$\dfrac{4}{3}$
D

$\dfrac{4}{5}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Áp dụng định lí Pi-ta-go để tìm độ dài cạnh $BC$.

- Sử dụng định nghĩa: $cos\alpha $ = cạnh kề : cạnh huyền.

Lời giải chi tiết :

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, áp dụng định lí Pi-ta-go ta có:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {4^2} + {3^2} = 25 \Rightarrow BC = 5$

Khi đó $\cos B = \dfrac{{AB}}{{BC}} = \dfrac{4}{5}$

Câu 13 :

Giá trị của biểu thức $P = {\cos ^2}{20^0} + {\cos ^2}{40^0} + {\cos ^2}{50^0} + {\cos ^2}{70^0}$ bằng

A
$0$
B
$1$
C
$2$
D
$3$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+) Sử dụng công thức: $\sin \alpha = \cos \left( {{{90}^0} - \alpha } \right);\;\;{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1.$

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}P = {\cos ^2}{20^0} + {\cos ^2}{40^0} + {\cos ^2}{50^0} + {\cos ^2}{70^0}\\ = {\cos ^2}{20^0} + {\cos ^2}{40^0} + {\sin ^2}{40^0} + {\sin ^2}{20^0}\\ = \left( {{{\cos }^2}{{20}^0} + {{\sin }^2}{{20}^0}} \right) + \left( {{{\cos }^2}{{40}^0} + {{\sin }^2}{{40}^0}} \right)\\ = 1 + 1 = 2.\end{array}$

Câu 14 :

Cho hàm số $y = ax$ có đồ thị như hình bên. Giá trị của $a$ bằng:

A
$a = 3$
B
$a = - 3$
C

$a = \dfrac{1}{3}$
D

$a = - \dfrac{1}{3}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Thay tọa độ điểm thuộc đồ thị vào hàm số để tìm hệ số $a$

Lời giải chi tiết :

Ta thấy $M\left( {3;1} \right)$ thuộc đồ thị hàm số nên $1 = a.3 \Leftrightarrow a = \dfrac{1}{3}$

Câu 15 :

Phân tích đa thức $5{x^2}{y^3} - 25{x^3}{y^4} + 10{x^3}{y^3}$ thành nhân tử ta được:

A

$5{x^2}{y^3}\left( {1 - 5xy + 2x} \right)$
B

$5{x^2}{y^3}\left( { - 5xy + 2x} \right)$
C

${x^2}{y^3}\left( {1 - 5xy + 2x} \right)$
D

$5{x^2}{y^3}\left( {1 - xy + x} \right)$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung để phân tích đa thức thành nhân tử.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $5{x^2}{y^3} - 25{x^3}{y^4} + 10{x^3}{y^3}$$ = 5{x^2}{y^3}. 1 - 5{x^2}{y^3}. 5xy + 5{x^2}{y^3}. 2x$$ = 5{x^2}{y^3}\left( {1 - 5xy + 2x} \right)$.

Câu 16 :

A

$P = \dfrac{1}{\sqrt{x} + 3}\,\,;\,\,0 \le x \le 4$
B

$P = \dfrac{1}{\sqrt{x} + 3}\,\,;\,\,0 \le x \le 2$
C

$P = \dfrac{1}{\sqrt{x} + 1}\,\,;\,\,0 \le x \le 2$
D

$P = \dfrac{1}{\sqrt{x} + 1}\,\,;\,\,0 \le x \le 4$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Quy đồng mẫu các phân thức, rút gọn biểu thức đã cho.

Giải bất phương trình $P \ge \frac{1}{5},$ tìm $x.$ Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $x \ge 0.$
$\begin{array}{l}P = \left( {\dfrac{{3\sqrt x }}{{x\sqrt x + 1}} - \dfrac{{\sqrt x }}{{x - \sqrt x + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}}} \right):\dfrac{{\sqrt x + 3}}{{x - \sqrt x + 1}}\\\,\,\,\, = \left[ {\dfrac{{3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}} + \dfrac{{x - \sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}} \right]:\dfrac{{\sqrt x + 3}}{{x - \sqrt x + 1}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{3\sqrt x - x - \sqrt x + x - \sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}.\dfrac{{x - \sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 3}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}.\dfrac{{x - \sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 3}} \\= \dfrac{1}{{\sqrt x + 3}}.\end{array}$
$\begin{array}{l} \Rightarrow P \ge \dfrac{1}{5} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt x + 3}} \ge \dfrac{1}{5}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt x + 3}} - \dfrac{1}{5} \ge 0 \Leftrightarrow \dfrac{{5 - \sqrt x - 3}}{{5\left( {\sqrt x + 3} \right)}} \ge 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2 - \sqrt x }}{{5\left( {\sqrt x + 3} \right)}} \ge 0 \Leftrightarrow 2 - \sqrt x \ge 0\\ \Leftrightarrow \sqrt x \le 2 \Leftrightarrow x \le 4\end{array}$
Vậy $0 \le x \le 4$ thỏa mãn bài toán.

Câu 17 :

$x = - 2$ là một nghiệm của bất phương trình nào dưới đây?

A

$3x + 17 < 5$
B

$ - 2x + 1 < - 1$
C

$\dfrac{1}{2}x + 5 > 3,5$
D

$1 - 2x < - 3$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Giải từng bất đẳng thức trong 4 đáp án, chọn đáp án mà bất đẳng thức có nghiệm $x = - 2$ nằm trong tập nghiệm.

Lời giải chi tiết :

Xét từng đáp án ta có:

$3x + 17 < 5 \Leftrightarrow 3x < - 12 \Leftrightarrow x < - 4 \Rightarrow $ A sai.

$ - 2x + 1 < - 1 \Leftrightarrow - 2x < - 2 \Leftrightarrow x > 1 \Rightarrow $ B sai.

$\dfrac{1}{2}x + 5 > 3,5 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}x > - 1,5 \Leftrightarrow x > - 3 \Rightarrow x = - 2$ là một nghiệm của bất phương trình $ \Rightarrow $ C đúng.

$1 - 2x < - 3 \Leftrightarrow - 2x < - 4 \Leftrightarrow x > 2 \Rightarrow $ D sai.

Câu 18 :

Cho $\Delta MNP \backsim \Delta HGK$ có tỉ số chu vi: $\dfrac{{{P_{\Delta MNP}}}}{{{P_{\Delta HGK}}}} = \dfrac{2}{7}.$ Chọn câu đúng.

A

$\dfrac{{HG}}{{MN}} = \dfrac{7}{2}$
B

$\dfrac{{{S_{\Delta MNP}}}}{{{S_{\Delta HGK}}}} = \dfrac{2}{7}$
C

$\dfrac{{{S_{\Delta MNP}}}}{{{S_{\Delta HGK}}}} = \dfrac{{49}}{4}$
D

$\dfrac{{NP}}{{GK}} = \dfrac{5}{7}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+) Áp dụng lý thuyết về mối quan hệ giữa tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng và tỉ số đồng dạng của 2 tam giác, kết hợp với dữ kiện đề bài cho để thực hiện yêu cầu của bài toán.

Lưu ý: Tỉ số đồng dạng bằng tỉ số chu vi và tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Gọi k là tỉ số đồng dạng của 2 tam giác MNP và HGK.

Theo bài ta có:

$\Delta MNP \backsim \Delta HGK$ và $\dfrac{{{P_{\Delta MNP}}}}{{{P_{\Delta HGK}}}} = \dfrac{2}{7}$

$ \Rightarrow \dfrac{{MN}}{{HG}} = \dfrac{{NP}}{{GK}} = \dfrac{{MP}}{{HK}} $$=\dfrac{MN+NP+MP}{HG+GK+HK}= \dfrac{{{P_{\Delta MNP}}}}{{{P_{\Delta HGK}}}} = \dfrac{2}{7} = k$

Do đó: $ \dfrac{{HG}}{{MN}} = \dfrac{7}{2}$

Và $ \dfrac{{{S_{\Delta MNP}}}}{{{S_{\Delta HGK}}}} = {k^2} = {\left( {\dfrac{2}{7}} \right)^2} = \dfrac{4}{{49}}.$

Câu 19 :

Căn bậc hai số học của 4 là:

A

$ - 2$
B

$2$
C

$16$
D

$ \pm 2$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Căn bậc hai số học của số $a$ không âm là số $x$ không âm sao cho ${x^2} = a.$

Kí hiệu: $x = \sqrt a .$

Lời giải chi tiết :

Vì ${2^2} = 4$ và $2 > 0$ nên $\sqrt 4 = 2.$

Câu 20 :

Cho phương trình $m{x^2} + 4(m - 1)x + 2m - 2 = 0$ có nghiệm bằng 1 nếu m nhận giá trị nào dưới đây ?

A

$\displaystyle {7 \over 6}$
B

$-\displaystyle {7 \over 6}$
C

$-\displaystyle {6 \over 7}$
D

$\displaystyle {6 \over 7}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Dựa vào tính chất nếu $x = {x_0}$ là nghiệm của phương trình $f\left( x \right) = 0$ thì $f\left( {{x_0}} \right) = 0$

Lời giải chi tiết :

Phương trình $m{x^2} + 4(m - 1)x + 2m - 2 = 0$ có nghiệm 1 thì m phải thoả mãn phương trình

Thay x = 1 vào phương trình ta được:

$m{.1^2} + 4(m - 1).1 + 2m - 2 = 0 \\ m + 4m - 4 + 2m - 2 = 0 \\ 7m - 6 = 0 \\ m = \frac{6}{7}$

Câu 21 :

Một hình hộp chữ nhật có thể tích $192cm^3,$ mặt đáy có chiều dài 6cm và chiều rộng $4cm.$ Chiều cao hình hộp chữ nhật đó là:

A

$7\,cm$
B

$9\,cm$
C

$6\,cm$
D

$8\,cm$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính thể tích hình hộp chữ nhật có chiều dài, chiều rộng và chiều cao lần lượt là $a,b,c$ là $V = abc.$

Lời giải chi tiết :

Hình hộp chữ nhật có chiều dài $a = 6cm,$ chiều rộng $b = 4cm$ và chiều cao $c.$

Thể tích hình hộp chữ nhật $V = abc$ $ = 6.4.c$

Theo đề bài ta có $6.4.c = 192 \Leftrightarrow c = 8\,cm.$

Vậy chiều cao cần tìm là $8\,cm.$

Câu 22 :

A
$12cm$
B
$18cm$
C
$10cm$
D

$6cm$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

Sử dụng công thức lượng giác

Lời giải chi tiết :

Ta có $IO$ là tia phân giác của $\widehat {BIA}$

$IO'$ là tia phân giác của $\widehat {CIA}$

Mà $\widehat {BIA} + \widehat {CIA} = {180^0} \Rightarrow \widehat {OIO'} = {90^0}$

Tam giác $OIO'$ vuông tại $I$ có $IA$ là đường cao nên $I{A^2} = AO.AO' = 9.4 = 36 \Rightarrow IA = 6cm$.

$ \Rightarrow IA = IB = IC = 6cm$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Vậy $BC = 2IA = 2.6 = 12\left( {cm} \right)$.

Bài liên quan

Đề khảo sát chất lượng đầu năm Toán 10 Chân trời sáng tạo - Đề số 1

Đề khảo sát chất lượng đầu năm Toán 10 Chân trời sáng tạo - Đề số 2

Đề khảo sát chất lượng đầu năm Toán 10 Chân trời sáng tạo - Đề số 3

Đề khảo sát chất lượng đầu năm Toán 10 Chân trời sáng tạo - Đề số 4

Đề khảo sát chất lượng đầu năm Toán 10 Chân trời sáng tạo - Đề số 5