Đề kiểm tra học kì 2 Toán 10 - Đề số 1 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (35 câu - 7,0 điểm).

Câu 1. Trong các hàm số sau, hàm số nào có tập xác định là \(\mathbb{R}\)?

A. \(y = {x^3} + 3{x^2} - 1\).

B. \(y = \frac{{{x^2} + 2}}{x}\).                                        

C. \(y = \frac{{2x + 3}}{{{x^2}}}\).       

D. \(y = \frac{{x + 2}}{{x - 1}}\).

Câu 2. Tìm tập xác định \(D\)của hàm số \(y = \sqrt {2 - x}  - \frac{4}{{\sqrt {x + 4} }}\).

A. \(D = \left[ { - 4;2} \right]\).                                   

B. \(D = \left( { - 4;2} \right]\).    

C. \(D = \left[ { - 4;2} \right)\).                                   

D. \(D = \left( { - 2;4} \right]\).

Câu 3. Cho hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bx + c\) \(\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị \(\left( P \right)\), đỉnh của \(\left( P \right)\) được xác định bởi công thức nào?

A. \(I\left( { - \frac{b}{{2a}};\; - \;\frac{\Delta }{{4a}}} \right)\).                                   

B. \(I\left( { - \frac{b}{a};\; - \;\frac{\Delta }{{4a}}} \right)\).       

C. \(I\left( {\frac{b}{{2a}};\;\;\frac{\Delta }{{4a}}} \right)\).                    

D. \(I\left( { - \frac{b}{{2a}};\;\;\frac{\Delta }{{4a}}} \right)\).

Câu 4. Xác định các hệ số \(a\) và \(b\) để Parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + 4x - b\) có đỉnh \(I\left( { - 1; - 5} \right)\).

A. \(\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b =  - 2\end{array} \right..\)                                    

B. \(\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 2\end{array} \right..\)      

C. \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right..\)    

D. \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b =  - 3\end{array} \right..\)

Câu 5. Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị như hình vẽ. Đặt \(\Delta  = {b^2} - 4ac\), tìm dấu của \(a\) và \(\Delta \).

A. \(a > 0\), \(\Delta  > 0\). 

B. \(a < 0\), \(\Delta  > 0\). 

C. \(a > 0\), \(\Delta  = 0\). 

D.\(a < 0\), \(,{\rm{ }}\Delta  = 0\).

Câu 6. Tập nghiệm của bất phương trình \(\frac{{{x^2} - 7x + 12}}{{{x^2} - 4}} \le 0\)là.

A. \(S = \left[ { - 2;2} \right] \cup \left[ {3;4} \right]\).     

B. \(S = \left( { - 2;2} \right] \cup \left[ {3;4} \right]\).

C. \(S = \left( { - 2;2} \right) \cup \left[ {3;4} \right]\).

D. \(S = \left[ { - 2;2} \right] \cup \left( {3;4} \right)\).

Câu 7. Phương trình \(\sqrt {x - 1}  = x - 3\) có tập nghiệm là

A. \(S = \left\{ 5 \right\}\).    

B. \(S = \left\{ {2;5} \right\}\).

C. \(S = \left\{ 2 \right\}\).    

D. \(S = \emptyset \).

Câu 8. Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 4x + 3}  = \sqrt {1 - x} \)là

A. Vô số.                          

B. 2.                                  

C. 1.                                  

D. 0.

Câu 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(d:x - 2y + 3 = 0\). Vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là

A. \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 2} \right)\)               

B. \(\overrightarrow n  = \left( {2;1} \right)\)                           

C. \(\overrightarrow n  = \left( { - 2;3} \right)\)               

D. \(\overrightarrow n  = \left( {1;3} \right)\)

Câu 10. Cho đường thẳng \(d:7x + 3y - 1 = 0\). Vectơ nào sau đây là Vectơ chỉ phương của d ?

A. \(\overrightarrow u  = \left( {7;3} \right)\).                 

B. \(\overrightarrow u  = \left( {3;7} \right)\).                          

C. \(\overrightarrow u  = \left( { - 3;7} \right)\).              

D. \(\overrightarrow u  = \left( {2;3} \right)\).

Câu 11. Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {1; - 2} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta :3x - 2y + 1 = 0\) là

A. \(3x - 2y - 7 = 0\).           

B. \(2x + 3y + 4 = 0\).          

C. \(x + 3y + 5 = 0\).   

D. \(2x + 3y - 3 = 0\).

Câu 12. Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường thẳng \(d:\,x - 2y - 1 = 0\) song song với đường thẳng có phương trình nào sau đây?

A. \(x + 2y + 1 = 0\).            B. \(2x - y = 0\).                   C. \( - x + 2y + 1 = 0\).    D. \( - 2x + 4y - 1 = 0\).

Câu 13. Khoảng cách từ điểm \(A\left( {1;1} \right)\) đến đường thẳng \(5x - 12y - 6 = 0\) là

A. \(13\).                           

B. \( - 13\).                         

C. \( - 1\).                          

D. \(1\).

Câu 14. Xác định tất cả các giá trị của \(a\) để góc tạo bởi đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = 9 + at\\y = 7 - 2t\end{array} \right.\) \(\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) và đường thẳng \(3x + 4y - 2 = 0\) bằng \(45^\circ \).

A. \(a = 1\), \(a =  - 14\).     

B. \(a = \frac{2}{7}\), \(a =  - 14\).                                  

C. \(a =  - 2\), \(a =  - 14\).                 

D. \(a = \frac{2}{7}\), \(a = 14\).

Câu 15. Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9\). Đường tròn có tâm và bán kính là

A. \(I\left( {2;3} \right),\,\,R = 9\).                                  

B. \(I\left( {2; - 3} \right),\,\,R = 3\).                                         

C. \(I\left( { - 3;2} \right),\,\,R = 3\).  

D. \(I\left( { - 2;3} \right),\,\,R = 3\).

Câu 16. Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\), bán kính bằng \(3\)?

A. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\).                                                            

B. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\).

C. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\).                      

D. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\).

Câu 17.Phương trình đường tròn có tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và bán kính \(R = 5\) là

A. \({x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0\).                              

B. \({x^2} + {y^2} + 2x + 4y + 20 = 0\).

C. \({x^2} + {y^2} + 2x + 4y - 20 = 0\).                             

D. \({x^2} + {y^2} - 2x - 4y + 20 = 0\).

Câu 18. Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường tròn đi qua ba điểm \(A\left( {1;2} \right)\), \(B\left( {5;2} \right)\), \(C\left( {1; - 3} \right)\) có phương trình là

A. \({x^2} + {y^2} + 25x + 19y - 49 = 0\).                         

B. \(2{x^2} + {y^2} - 6x + y - 3 = 0\).

C. \({x^2} + {y^2} - 6x + y - 1 = 0\).                                 

D. \({x^2} + {y^2} - 6x + xy - 1 = 0\).

Câu 19. Đường elip \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{7} = 1\) cắt trục tung tại hai điểm \({B_1}\), \({B_2}\). Độ dài \({B_1}{B_2}\) bằng

A. \(2\sqrt 7 \).                

B. \(\sqrt 7 \).                   

C. \(3\).                            

D. \(6\).

Câu 20. Tọa độ các tiêu điểm của hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1\) là

A. \({F_1} = \left( { - 5;0} \right);{F_2} = \left( {5;0} \right)\).                                      

B. \({F_1} = \left( {0; - 5} \right);{F_2} = \left( {0;5} \right)\).

C. \({F_1} = \left( {0; - \sqrt 7 } \right);{F_2} = \left( {0;\sqrt 7 } \right)\).                    

D. \({F_1} = \left( { - \sqrt 7 ;0} \right);{F_2} = \left( {\sqrt 7 ;0} \right)\).

Câu 21. Một tổ có  học sinh nữ và  học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên một học sinh của tổ đó đi trực nhật.

A. \(20\).                           

B. \(11\).                            

C. \(30\).                           

D. \(10\).

Câu 22. Các thành phố A, B, C, D được nối với nhau bởi các con đường như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần?

A. 9.                                   B. 10.                                 C. 18.                                 D. 24.

Câu 23. Từ các số  lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và là số lẻ

A. 360                                B. 343                                C. 480                                D. 347

Câu 24. Tính số chỉnh hợp chập \(4\) của \(7\) phần tử?

A. \(24\).                            B. \(720\).                           C. \(840\).                          D. \(35\).

Câu 25. Công thức tính số tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là:

A. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}.\)            

B. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!k!}}.\)                        

C. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!k!}}.\)          

D. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}.\)

Câu 26. Có bao nhiêu cách sắp xếp \(5\) học sinh thành một hàng dọc?

A. \({5^5}\).                        B. \(5!\).                             C. \(4!\).                             D. \(5\).

Câu 27. Một lớp có \(15\) học sinh nam và \(20\) học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn \(5\) bạn học sinh sao cho trong đó có đúng \(3\) học sinh nữ?

A. \(110790.\)                    

B. \(119700.\)                    

C. \(117900.\)                    

D. \(110970.\)

Câu 28. Có \(15\) học sinh giỏi gồm \(6\) học sinh khối \(12\), \(4\) học sinh khối \(11\) và \(5\) học sinh khối \(10\). Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra \(6\) học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất \(1\) học sinh?

A. \(4249\).                        

B. \(4250\).                        

C. \(5005\).                        

D. \(805\).

Câu 29. Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của \({\left( {2x - 3} \right)^4}\), số hạng tổng quát của khai triển là

A. \(C_4^k{2^k}{3^{4 - k}}.{x^{4 - k}}\).                          

B. \(C_4^k{2^{4 - k}}{\left( { - 3} \right)^k}.{x^{4 - k}}\).             

C. \(C_4^k{2^{4 - k}}{3^k}.{x^{4 - k}}\).   

D. \(C_4^k{2^k}{\left( { - 3} \right)^{4 - k}}.{x^{4 - k}}\).

Câu 30. Gieo một đồng tiền liên tiếp \(3\) lần thì \(n(\Omega )\) là bao nhiêu?

A. \(4\).                            

B. \(6\).                            

C. \(8\).                            

D. \(16\).

Câu 31. Cho \({\rm{A}}\), \(\overline {\rm{A}} \) là hai biến cố đối nhau trong cùng một phép thử T; xác suất xảy ra biến cố \(A\) là \(\frac{1}{5}\). Xác suất để xảy ra biến cố \(\overline {\rm{A}} \) là

A. \({\rm{P}}\left( {\overline {\rm{A}} } \right) = 1.\)       

B. \({\rm{P}}\left( {\overline {\rm{A}} } \right) = \frac{1}{4}.\)

C. \({\rm{P}}\left( {\overline {\rm{A}} } \right) = \frac{1}{5}.\)    

D. \({\rm{P}}\left( {\overline {\rm{A}} } \right) = \frac{4}{5}.\)

Câu 32. Gieo một con súc sắc. Xác suất để mặt chấm chẵn xuất hiện là:

A. \(0,2\).                           B. \(0,3\).                            C. \(0,4\).                           D. \(0,5\).

Câu 33. Gieo một con súc sắc hai lần. Xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm là?

A. \(\frac{{12}}{{36}}.\)       

B. \(\frac{{11}}{{36}}.\)       

C. \(\frac{6}{{36}}.\)           

D. \(\frac{8}{{36}}.\)

Câu 34.  Một đội gồm \(5\) nam và \(8\) nữ. Lập một nhóm gồm 4 người hát tốp ca, tính xác suất để trong 4 người được chọn có ít nhất \(3\) nữ.

A. \(\frac{{70}}{{143}}.\)     

B. \(\frac{{73}}{{143}}.\)     

C. \(\frac{{56}}{{143}}.\)     

D. \(\frac{{87}}{{143}}.\)

Câu 35.  Có \(13\) học sinh của một trường THPT đạt danh hiệu học sinh xuất sắc trong đó khối \(12\) có \(8\) học sinh nam và \(3\) học sinh nữ, khối \(11\) có \(2\) học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên \(3\) học sinh bất kỳ để trao thưởng, tính xác suất để \(3\) học sinh được chọn có cả nam và nữ đồng thời có cả khối \(11\) và khối \(12\).

A. \(\frac{{57}}{{286}}.\)     

B. \(\frac{{24}}{{143}}.\)     

C. \(\frac{{27}}{{143}}.\)     

D. \(\frac{{229}}{{286}}.\)

II. TỰ LUẬN (04 câu – 3,0 điểm)

Câu 36 ( 1 điểm)  Xác định hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) với \(a\), \(b\), \(c\) là các tham số, biết rằng hàm số ấy đạt giá trị lớn nhất bằng \(5\) tại \(x =  - 2\) và có đồ thị đi qua điểm \(M\left( {1\,;\, - 1} \right)\).

Câu 37 ( 1 điểm) Tìm tham số \(m\) để góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 + mt}\\{y = 9 + t}\end{array}} \right.\), \({\Delta _2}:x + my - 4 = 0\) bằng \(60^\circ \).

Câu 38 (0,5điểm) Tìm hệ số của \({x^7}\) trong khai triển biểu thức \({x^2}{\left( {2x - 1} \right)^8} + {\left( {3x - 1} \right)^{10}}\)

Câu 39 (0,5 điểm) Có bao nhiêu cách xếp \(7\) bạn nam và \(5\) bạn nữ vào một bàn tròn có 12 chỗ ngồi, sao cho không có hai bạn nữ nào ngồi cạnh nhau.

Lời giải

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

THỰC HIỆN: BAN CHYÊN MÔN LOIGIAIHAY.COM

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (35 câu - 7,0 điểm).

Câu 1.  Trong các hàm số sau, hàm số nào có tập xác định là R ?

A. \(y = {x^3} + 3{x^2} - 1\).

B. \(y = \frac{{{x^2} + 2}}{x}\).                                        

C. \(y = \frac{{2x + 3}}{{{x^2}}}\).       

D. \(y = \frac{{x + 2}}{{x - 1}}\).

Phương pháp

- Hàm đa thức có tập xác định R

Lời giải

Chọn A

Hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 1\) là hàm đa thức bậc ba nên tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Câu 2.  Tìm tập xác định \(D\)của hàm số \(y = \sqrt {2 - x}  - \frac{4}{{\sqrt {x + 4} }}\).

A. \(D = \left[ { - 4;2} \right]\).                                   

B. \(D = \left( { - 4;2} \right]\).    

C. \(D = \left[ { - 4;2} \right)\).                                   

D. \(D = \left( { - 2;4} \right]\).

Phương pháp

- Phân thức xác định khi mẫu thức khác 0

- Căn thức xác định khi biểu thức trong căn lớn hơn bằng 0.

Lời giải

Chọn B

Hàm số xác định khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}2 - x \ge 0\\x + 4 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\x >  - 4\end{array} \right..\)

Vậy \(D = \left( { - 4;2} \right]\).

Câu 3.  Cho hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bx + c\) \(\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị \(\left( P \right)\), đỉnh của \(\left( P \right)\) được xác định bởi công thức nào?

A. \(I\left( { - \frac{b}{{2a}};\; - \;\frac{\Delta }{{4a}}} \right)\).                                   

B. \(I\left( { - \frac{b}{a};\; - \;\frac{\Delta }{{4a}}} \right)\).       

C. \(I\left( {\frac{b}{{2a}};\;\;\frac{\Delta }{{4a}}} \right)\).                    

D. \(I\left( { - \frac{b}{{2a}};\;\;\frac{\Delta }{{4a}}} \right)\).

Phương pháp

Đỉnh của parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\) \(\left( {a \ne 0} \right)\) là điểm \(I\left( { - \frac{b}{{2a}};\; - \;\frac{\Delta }{{4a}}} \right)\).

Lời giải

Chọn A

Đỉnh của parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\) \(\left( {a \ne 0} \right)\) là điểm \(I\left( { - \frac{b}{{2a}};\; - \;\frac{\Delta }{{4a}}} \right)\).

Câu 4.  Xác định các hệ số \(a\) và \(b\) để Parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + 4x - b\) có đỉnh \(I\left( { - 1; - 5} \right)\).

A. \(\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b =  - 2\end{array} \right..\)                                    

B. \(\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 2\end{array} \right..\)      

C. \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right..\)    

D. \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b =  - 3\end{array} \right..\)

Phương pháp

Đỉnh của parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\) \(\left( {a \ne 0} \right)\) là điểm \(I\left( { - \frac{b}{{2a}};\; - \;\frac{\Delta }{{4a}}} \right)\).

Lời giải

Chọn C

Ta có: \({x_I} =  - 1 \Rightarrow  - \frac{4}{{2a}} =  - 1 \Rightarrow a = 2.\)

Hơn nữa \(I \in \left( P \right)\) nên \( - 5 = a - 4 - b \Rightarrow b = 3.\)

Câu 5.  Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị như hình vẽ. Đặt \(\Delta  = {b^2} - 4ac\), tìm dấu của \(a\) và \(\Delta \).

A. \(a > 0\), \(\Delta  > 0\). 

B. \(a < 0\), \(\Delta  > 0\). 

C. \(a > 0\), \(\Delta  = 0\). 

D.\(a < 0\), \(,{\rm{ }}\Delta  = 0\).

Phương pháp

* Đồ thị hàm số là một Parabol quay bề lõm lên trên nên \(a > 0\) và đồ thị hàm số cắt trục \(Ox\) tại hai điểm phân biệt nên \(\Delta  > 0\).

Lời giải

Chọn A

* Đồ thị hàm số là một Parabol quay bề lõm lên trên nên \(a > 0\) và đồ thị hàm số cắt trục \(Ox\) tại hai điểm phân biệt nên \(\Delta  > 0\).

Câu 6.  Tập nghiệm của bất phương trình \(\frac{{{x^2} - 7x + 12}}{{{x^2} - 4}} \le 0\)là.

A. \(S = \left[ { - 2;2} \right] \cup \left[ {3;4} \right]\).     

B. \(S = \left( { - 2;2} \right] \cup \left[ {3;4} \right]\).

C. \(S = \left( { - 2;2} \right) \cup \left[ {3;4} \right]\).    

D. \(S = \left[ { - 2;2} \right] \cup \left( {3;4} \right)\).

Phương pháp

Sử dụng dấu của tam thức bậc hai rồi lập bảng xét dấu

Lời giải

Chọn C

Xét \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 7x + 12}}{{{x^2} - 4}}\)

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2;2} \right\}\).

\({x^2} - 7x + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 4\end{array} \right.\).

\({x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\x = 2\end{array} \right.\).

Bảng xét dấu \(f\left( x \right)\)

Từ bảng xét dấu ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S = \left( { - 2;2} \right) \cup \left[ {3;4} \right]\).

Câu 7.  Phương trình \(\sqrt {x - 1}  = x - 3\) có tập nghiệm là

A. \(S = \left\{ 5 \right\}\).    

B. \(S = \left\{ {2;5} \right\}\).

C. \(S = \left\{ 2 \right\}\).    

D. \(S = \emptyset \).

Phương pháp

Bình phương hai vế của phương trình để đưa về giải phương trình bậc hai.

Lời giải

Chọn A

Ta có: \(\sqrt {x - 1}  = x - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ge 0\\x - 1 = {\left( {x - 3} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\{x^2} - 7x + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ 5 \right\}\).

Câu 8.  Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 4x + 3}  = \sqrt {1 - x} \)là

A. Vô số.                           B. 2.                                   C. 1.                                   D. 0.

Phương pháp

Bình phương hai vế của phương trình để đưa về giải phương trình bậc hai.

Lời giải

Chọn C

Ta có \(\sqrt {{x^2} - 4x + 3}  = \sqrt {1 - x} \)

\( \Leftrightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}1 - x \ge 0\\{x^2} - 4x + 3 = 1 - x\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\{x^2} - 3x + 2 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)\(x = 1\).

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm.

Câu 9.  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(d:x - 2y + 3 = 0\). Vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là

A. \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 2} \right)\)               

B. \(\overrightarrow n  = \left( {2;1} \right)\)                           

C. \(\overrightarrow n  = \left( { - 2;3} \right)\)              

D. \(\overrightarrow n  = \left( {1;3} \right)\)

Phương pháp

Vecto pháp tuyến của đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\) là \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\)

Lời giải

Chọn A

Câu 10. Cho đường thẳng \(d:7x + 3y - 1 = 0\). Vectơ nào sau đây là Vectơ chỉ phương của d?

A. \(\overrightarrow u  = \left( {7;3} \right)\).                 

B. \(\overrightarrow u  = \left( {3;7} \right)\).                          

C. \(\overrightarrow u  = \left( { - 3;7} \right)\).              

D. \(\overrightarrow u  = \left( {2;3} \right)\).

Phương pháp

Vecto pháp tuyến của đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\) là \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow u  = \left( { - b;a} \right)\)

Lời giải

Chọn C

Đường thẳng d có 1 VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {7;3} \right)\)nên d có 1 VTCP là \(\overrightarrow u  = \left( { - 3;7} \right)\).

Câu 11.  Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {1; - 2} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta :3x - 2y + 1 = 0\) là:

A. \(3x - 2y - 7 = 0\).           

B. \(2x + 3y + 4 = 0\).          

C. \(x + 3y + 5 = 0\).   

D. \(2x + 3y - 3 = 0\).

Phương pháp

Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\) làm vecto pháp      tuyến là : \(d:a(x - {x_0}) + b(y - {y_0}) = 0\)

Lời giải

Chọn B

Do \(d \bot \Delta  \Rightarrow \overrightarrow {{n_d}} \left( {2;3} \right)\)

Mà đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {1; - 2} \right)\) nên ta có phương trình: \(2\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y + 4 = 0\).

Vậy phương trình đường thẳng \(d:2x + 3y + 4 = 0\).

Câu 12. Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường thẳng \(d:\,x - 2y - 1 = 0\) song song với đường thẳng có phương trình nào sau đây?

A. \(x + 2y + 1 = 0\).           

B. \(2x - y = 0\).                  

C. \( - x + 2y + 1 = 0\).    

D. \( - 2x + 4y - 1 = 0\).

Phương pháp

Sử dụng công thức vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Lời giải

Chọn D

Ta kiểm tra lần lượt các đường thẳng

+) Với \(d{}_1:x + 2y + 1 = 0\) có \(\frac{1}{1} \ne \frac{2}{{ - 2}} \Rightarrow d\) cắt \(d{}_1\).

+) Với \(d{}_2:2x - y = 0\) có \(\frac{2}{1} \ne \frac{{ - 1}}{{ - 2}} \Rightarrow d\)cắt \(d{}_2\).

+) Với \(d{}_3: - x + 2y + 1 = 0\) có \(\frac{{ - 1}}{1} = \frac{2}{{ - 2}} \ne \frac{1}{{ - 1}} \Rightarrow d\)trùng \(d{}_3\).

+) Với \(d{}_4: - 2x + 4y - 1 = 0\) có \(\frac{1}{{ - 2}} = \frac{{ - 2}}{4} \ne \frac{{ - 1}}{{ - 1}} \Rightarrow d\) song song \(d{}_4\)

Câu 13.  Khoảng cách từ điểm \(A\left( {1;1} \right)\) đến đường thẳng \(5x - 12y - 6 = 0\) là

A. \(13\).                            B. \( - 13\).                          C. \( - 1\).                           D. \(1\).

Phương pháp

Khoảng cách từ điểm \(M({x_0};{y_0})\) đến đường thẳng \(\Delta :{\rm{ }}ax + by + c = 0\) là: \(d(M,\Delta ) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Lời giải

Chọn D

Khoảng cách từ điểm \(A\left( {1;1} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :5x - 12y - 6 = 0\) là

\(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {5.1 - 12.1 - 6} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} }} = 1\).

Câu 14. Xác định tất cả các giá trị của \(a\) để góc tạo bởi đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = 9 + at\\y = 7 - 2t\end{array} \right.\) \(\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) và đường thẳng \(3x + 4y - 2 = 0\) bằng \(45^\circ \).

A. \(a = 1\), \(a =  - 14\).     

B. \(a = \frac{2}{7}\), \(a =  - 14\).                                  

C. \(a =  - 2\), \(a =  - 14\).                 

D. \(a = \frac{2}{7}\), \(a = 14\).

Phương pháp

Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng có:  \(\cos \left( {a,b} \right) = \frac{{\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} }}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\).

Lời giải

Chọn B

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng đã cho.

Đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = 9 + at\\y = 7 - 2t\end{array} \right.\) \(\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) có vectơ chỉ phương là \(\vec u = \left( {a\,; - 2} \right)\).

Đường thẳng \(3x + 4y - 2 = 0\) có vectơ chỉ phương là \(\vec v = \left( {4\,; - 3} \right)\).

Ta có \(\cos \varphi  = \left| {\cos \left( {\vec u,\vec v} \right)} \right|\) \( \Leftrightarrow \cos 45^\circ  = \frac{{\left| {\vec u.\vec v} \right|}}{{\left| {\vec u} \right|.\left| {\vec v} \right|}}\) \( \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\left| {4a + 6} \right|}}{{5\sqrt {{a^2} + 4} }}\)

\( \Leftrightarrow 5\sqrt {{a^2} + 4}  = \sqrt 2 \left| {4a + 6} \right|\)\( \Leftrightarrow 25{a^2} + 100 = 32{a^2} + 96a + 72\)

\( \Leftrightarrow 7{a^2} + 96a - 28 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \frac{2}{7}\\a =  - 14\end{array} \right.\).

Câu 15.  Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9\). Đường tròn có tâm và bán kính là

A. \(I\left( {2;3} \right),\,\,R = 9\).                                  

B. \(I\left( {2; - 3} \right),\,\,R = 3\).                                         

C. \(I\left( { - 3;2} \right),\,\,R = 3\).    

D. \(I\left( { - 2;3} \right),\,\,R = 3\).

Phương pháp

Phương trình đường tròn (O) có tâm I(a,b) và bán kính R là : \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\)

Lời giải

Chọn B

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {2; - 3} \right)\) và bán kính \(R = 3\).

Câu 16.  Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\), bán kính bằng \(3\)?

A. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\).                                       

B. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\).

C. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\).                                        

D. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\).

Phương pháp

Phương trình đường tròn (O) có tâm I(a,b) và bán kính R là : \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\)

Lời giải

Chọn D

Phương trình đường tròn tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\) và bán kính \(R = 3\) là: \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\).

Câu 17.  Phương trình đường tròn có tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và bán kính \(R = 5\) là

A. \({x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0\).                              

B. \({x^2} + {y^2} + 2x + 4y + 20 = 0\).

C. \({x^2} + {y^2} + 2x + 4y - 20 = 0\).                             

D. \({x^2} + {y^2} - 2x - 4y + 20 = 0\).

Lời giải

Chọn A

Phương trình đường tròn có tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và bán kính \(R = 5\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {5^2}\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 + {y^2} - 4y + 4 = 25\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0\).

Câu 18. Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường tròn đi qua ba điểm \(A\left( {1;2} \right)\), \(B\left( {5;2} \right)\), \(C\left( {1; - 3} \right)\) có phương trình là.

A. \({x^2} + {y^2} + 25x + 19y - 49 = 0\).                         

B. \(2{x^2} + {y^2} - 6x + y - 3 = 0\).

C. \({x^2} + {y^2} - 6x + y - 1 = 0\).                                 

D. \({x^2} + {y^2} - 6x + xy - 1 = 0\).

Phương pháp

Phương trình đường tròn có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\).

Lời giải

Chọn C

Phương trình đường tròn có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\). Đường tròn này đi qua 3 điểm \(A,B,C\) nên

\(\left\{ \begin{array}{l}1 + 4 - 2a - 4b + c = 0\\25 + 4 - 10a - 4b + c = 0\\1 + 9 - 2a + 6b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b =  - \frac{1}{2}\\c =  - 1\end{array} \right.\).

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là \({x^2} + {y^2} - 6x + y - 1 = 0\).

Câu 19. Đường elip \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{7} = 1\) cắt trục tung tại hai điểm \({B_1}\), \({B_2}\). Độ dài \({B_1}{B_2}\) bằng

A. \(2\sqrt 7 \).                

B. \(\sqrt 7 \).                   

C. \(3\).                           

D. \(6\).

Phương pháp

 Phương trình Elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có độ dài \({B_1}{B_2} = 2b\)

Lời giải

Chọn A

Ta có \(x = 0 \Rightarrow y =  \pm \sqrt 7 \).

Elip cắt trục tung tại hai điểm \({B_1}\left( {0; - \sqrt 7 } \right)\), \({B_2}\left( {0;\sqrt 7 } \right)\). Suy ra \({B_1}{B_2} = 2\sqrt 7 \).

Câu 20.  Tọa độ các tiêu điểm của hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1\) là

A. \({F_1} = \left( { - 5;0} \right);{F_2} = \left( {5;0} \right)\).                                      

B. \({F_1} = \left( {0; - 5} \right);{F_2} = \left( {0;5} \right)\).

C. \({F_1} = \left( {0; - \sqrt 7 } \right);{F_2} = \left( {0;\sqrt 7 } \right)\).                    

D. \({F_1} = \left( { - \sqrt 7 ;0} \right);{F_2} = \left( {\sqrt 7 ;0} \right)\).

Phương pháp

Phương trình Hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có tọa độ hai tiêu điểm là \({F_1} = \left( { - c;0} \right);{F_2} = \left( {c;0} \right)\) với \({c^2} = {a^2} + {b^2}\)

Lời giải

Chọn D

Gọi \({F_1} = \left( { - c;0} \right);{F_2} = \left( {c;0} \right)\) là hai tiêu điểm của \(\left( H \right)\).

Từ phương trình \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1\), ta có: \({a^2} = 4\) và \({b^2} = 3\) suy ra \({c^2} = {a^2} + {b^2} = 7 \Rightarrow c = \sqrt 7 ,\left( {c > 0} \right)\).

Vậy tọa độ các tiêu điểm của \(\left( H \right)\)là \({F_1} = \left( { - \sqrt 7 ;0} \right);{F_2} = \left( {\sqrt 7 ;0} \right)\).

Câu 21. Một tổ có  học sinh nữ và  học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên một học sinh của tổ đó đi trực nhật.

A. \(20\).                            B. \(11\).                             C. \(30\).                            D. \(10\).

Phương pháp

Áp dụng quy tắc cộng

Lời giải

Chọn B

Chọn ngẫu nhiên một học sinh từ \(11\) học sinh, ta có \(11\) cách chọn.

Câu 22.  Các thành phố A, B, C, D được nối với nhau bởi các con đường như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần?

A. 9.                                   B. 10.                                 C. 18.                                 D. 24.

Phương pháp

Áp dụng quy tắc nhân

Lời giải.

Chọn D

\( \bullet \) Từ  có \(4\) cách.

\( \bullet \) Từ  có \(2\) cách.

\( \bullet \) Từ  có \(2\) cách.

Vậy theo qui tắc nhân ta có \(4 \times 2 \times 3 = 24\) cách.

Câu 23. Từ các số  lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và là số lẻ

A. 360                                B. 343                                C. 480                                D. 347

Phương pháp

 Áp dụng quy tắc nhân và quy tắc cộng

Lời giải

Chọn C

Gọi số cần lập ;  và  đôi một khác nhau.

Vì số  cần lập là số lẻ nên  phải là số lẻ. Ta lập  qua các công đoạn sau.

Bước 1: Có 4 cách chọn d

Bước 2: Có 6 cách chọn a

Bước 3: Có 5 cách chọn b

Bước 4: Có 4 cách chọn c

Vậy có 480 số thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 24.  Tính số chỉnh hợp chập \(4\) của \(7\) phần tử?

A. \(24\).                            B. \(720\).                           C. \(840\).                          D. \(35\).

Phương pháp

Áp dụng công thức chỉnh hợp : \(A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}.\)

Lời giải

Chọn C

Ta có: \(A_7^4 = \frac{{7!}}{{3!}} = 840\).

Câu 25. Công thức tính số tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là:

A. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}.\)            

B. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!k!}}.\)                        

C. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!k!}}.\)          

D. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}.\)

Phương pháp

Áp dụng công thức chỉnh hợp : \(A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}.\)

Lời giải

Chọn C

\(A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}.\)

Câu 26. Có bao nhiêu cách sắp xếp \(5\) học sinh thành một hàng dọc?

A. \({5^5}\).                        B. \(5!\).                             C. \(4!\).                             D. \(5\).

Phương pháp

Áp dụng công thức hoán vị

Lời giải

Chọn B

Số cách sắp xếp \(5\) học sinh thành một hàng dọc là \(5!\).

Câu 27. Một lớp có \(15\) học sinh nam và \(20\) học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn \(5\) bạn học sinh sao cho trong đó có đúng \(3\) học sinh nữ?

A. \(110790.\)                     B. \(119700.\)                     C. \(117900.\)                     D. \(110970.\)

Phương pháp

Áp dụng công thức tổ hợp

Lời giải.

Chọn B

Số cách chọn \(3\) học sinh nữ là: \(C_{20}^3 = 1140\) cách.

Số cách chọn \(2\) bạn học sinh nam là: \(C_{15}^2 = 105\) cách.

Số cách chọn \(5\) bạn thỏa mãn yêu cầu bài toán là: \(1140 \times 105 = 119700.\)

Câu 28. Có \(15\) học sinh giỏi gồm \(6\) học sinh khối \(12\), \(4\) học sinh khối \(11\) và \(5\) học sinh khối \(10\). Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra \(6\) học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất \(1\) học sinh?

A. \(4249\).                         B. \(4250\).                         C. \(5005\).                         D. \(805\).

Phương pháp

Áp dụng công thức tổ hợp

Lời giải

Chọn B

Số cách chọn \(6\) học sinh bất kỳ trong \(15\) học sinh là \(C_{15}^6 = 5005\).

Số cách chọn \(6\) học sinh chỉ có khối \(12\) là \(C_6^6 = 1\) cách.

Số cách chọn \(6\) học sinh chỉ có khối \(10\) và \(11\) là \(C_9^6 = 84\) cách.

Số cách chọn \(6\) học sinh chỉ có khối \(10\) và \(12\) là \(C_{11}^6 - C_6^6 = 461\) cách.

Số cách chọn \(6\) học sinh chỉ có khối \(11\) và \(12\) là \(C_{10}^6 - C_6^6 = 209\) cách.

Do đó số cách chọn \(6\) học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất \(1\) học sinh là \(5005 - 1 - 84 - 461 - 209 = 4250\) cách.

Câu 29. Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của \({\left( {2x - 3} \right)^4}\), số hạng tổng quát của khai triển là

A. \(C_4^k{2^k}{3^{4 - k}}.{x^{4 - k}}\).                          

B. \(C_4^k{2^{4 - k}}{\left( { - 3} \right)^k}.{x^{4 - k}}\).             

C. \(C_4^k{2^{4 - k}}{3^k}.{x^{4 - k}}\).

D. \(C_4^k{2^k}{\left( { - 3} \right)^{4 - k}}.{x^{4 - k}}\).

Phương pháp

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton

Lời giải

Chọn B

Số hạng tổng quát của khai triển \({\left( {2x - 3} \right)^4}\) là \(C_4^k{\left( {2x} \right)^{4 - k}}{\left( { - 3} \right)^k} = C_4^k{2^{4 - k}}{\left( { - 3} \right)^k}.{x^{4 - k}}\).

Câu 30. Gieo một đồng tiền liên tiếp \(3\) lần thì \(n(\Omega )\) là bao nhiêu?

A. \(4\).                             B. \(6\).                             C. \(8\).                             D. \(16\).

Phương pháp

Sử dụng quy tắc đếm

Lời giải

Chọn C

\(n(\Omega ) = 2.2.2 = 8\).

Câu 31.  Cho \({\rm{A}}\), \(\overline {\rm{A}} \) là hai biến cố đối nhau trong cùng một phép thử T; xác suất xảy ra biến cố \(A\) là \(\frac{1}{5}\). Xác suất để xảy ra biến cố \(\overline {\rm{A}} \) là

A. \({\rm{P}}\left( {\overline {\rm{A}} } \right) = 1.\)       

B. \({\rm{P}}\left( {\overline {\rm{A}} } \right) = \frac{1}{4}.\)

C. \({\rm{P}}\left( {\overline {\rm{A}} } \right) = \frac{1}{5}.\)    

D. \({\rm{P}}\left( {\overline {\rm{A}} } \right) = \frac{4}{5}.\)

Phương pháp

Theo tính chất xác suất ta có \(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right)\)

Lời giải

Chọn D

Theo tính chất xác suất ta có \(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}\)

Câu 32. Gieo một con súc sắc. Xác suất để mặt chấm chẵn xuất hiện là

A. \(0,2\).                           B. \(0,3\).                            C. \(0,4\).                           D. \(0,5\).

Phương pháp

Công thức tính xác suất

Lời giải

Chọn D

Không gian mẫu:\(\Omega  = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\)

Biến cố xuất hiện mặt chẵn: \(A = \left\{ {2;4;6} \right\}\)

Suy ra \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{1}{2}\).

Câu 33. Gieo một con súc sắc hai lần. Xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm là

A. \(\frac{{12}}{{36}}.\)       

B. \(\frac{{11}}{{36}}.\)       

C. \(\frac{6}{{36}}.\)           

D. \(\frac{8}{{36}}.\)

Phương pháp

Công thức tính xác suất

Lời giải.

Chọn B

Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega  \right) = 6.6 = 36.\)

Gọi \(A\) là biến cố \(''\)Ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm\(''\). Để tìm số phần tử của biến cố \(A\), ta đi tìm số phần tử của biến cố đối \(\overline A \) là \(''\)Không xuất hiện mặt sáu chấm\(''\)

Vậy xác suất cần tính \(P\left( A \right) = \frac{{11}}{{36}}\).

Câu 34.  Một đội gồm \(5\) nam và \(8\) nữ. Lập một nhóm gồm 4 người hát tốp ca, tính xác suất để trong 4 người được chọn có ít nhất \(3\) nữ.

A. \(\frac{{70}}{{143}}.\)     

B. \(\frac{{73}}{{143}}.\)     

C. \(\frac{{56}}{{143}}.\)     

D. \(\frac{{87}}{{143}}.\)

 Phương pháp

Công thức tính xác suất

Lời giải.

Chọn A

Không gian mẫu là chọn tùy ý \(4\) người từ \(13\) người.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega  \right) = C_{13}^4 = 715\).

Gọi \(A\) là biến cố \(''\)4 người được chọn có ít nhất 3 nữ\(''\). Ta có hai trường hợp thuận lợi cho biến cố \(A\) như sau:

● TH1: Chọn 3 nữ và 1 nam, có \(C_8^3C_5^1\) cách.

● TH2: Chọn cả 4 nữ, có \(C_8^4\) cách.

Suy ra số phần tử của biến cố \(A\) là \(n\left( A \right) = C_8^3C_5^1 + C_8^4 = 350\).

Vậy xác suất cần tính \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{350}}{{715}} = \frac{{70}}{{143}}\).

Câu 35. Có \(13\) học sinh của một trường THPT đạt danh hiệu học sinh xuất sắc trong đó khối \(12\) có \(8\) học sinh nam và \(3\) học sinh nữ, khối \(11\) có \(2\) học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên \(3\) học sinh bất kỳ để trao thưởng, tính xác suất để \(3\) học sinh được chọn có cả nam và nữ đồng thời có cả khối \(11\) và khối \(12\).

A. \(\frac{{57}}{{286}}.\)     

B. \(\frac{{24}}{{143}}.\)     

C. \(\frac{{27}}{{143}}.\)     

D. \(\frac{{229}}{{286}}.\)

Phương pháp

Công thức tính xác suất

Lời giải.

Chọn A

Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên \(3\) học sinh từ \(13\) học sinh.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega  \right) = C_{13}^3 = 286\).

Gọi \(A\) là biến cố \(''\)\(3\) học sinh được chọn có cả nam và nữ đồng thời có cả khối \(11\) và khối \(12\)\(''\). Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố \(A\) là:

● TH1: Chọn \(1\) học sinh khối \(11\); \(1\) học sinh nam khối \(12\) và \(1\) học sinh nữ khối \(12\) nên có \(C_2^1C_8^1C_3^1 = 48\) cách.

● TH2: Chọn \(1\) học sinh khối \(11\); \(2\) học sinh nữ khối \(12\) có \(C_2^1C_3^2 = 6\) cách.

● TH3: Chọn \(2\) học sinh khối \(11\); \(1\) học sinh nữ khối \(12\) có \(C_2^2C_3^1 = 3\) cách.

Suy ra số phần tử của biến cố \(A\) là \(n\left( A \right) = 48 + 6 + 3 = 57\).

Vậy xác suất cần tính \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{57}}{{286}}.\)

II. TỰ LUẬN (04 câu – 3,0 điểm)

Câu 36 ( 1 điểm)  Xác định hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) với \(a\), \(b\), \(c\) là các tham số, biết rằng hàm số ấy đạt giá trị lớn nhất bằng \(5\) tại \(x =  - 2\) và có đồ thị đi qua điểm \(M\left( {1\,;\, - 1} \right)\).

Phương pháp

Thay các giá trị đề bài cho vào hàm số y.

Lời giải

Tập xác định \(D = R\).

Trên R, do hàm \(y = a{x^2} + bx + c\) đạt giá trị lớn nhất nên \(a < 0\).

Do đó theo giả thiết, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} =  - 2\\4a - 2b + c = 5\\a + b + c =  - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{2}{3}\\b =  - \frac{8}{3}\\c = \frac{7}{3}\end{array} \right.\) (nhận).

Vậy hàm số cần tìm là \(y =  - \frac{2}{3}{x^2} - \frac{8}{3}x + \frac{7}{3}\).

Câu 37( 1 điểm) Tìm tham số \(m\) để góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 + mt}\\{y = 9 + t}\end{array}} \right.\), \({\Delta _2}:x + my - 4 = 0\) bằng \(60^\circ \).

Phương pháp

Sử dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_2}} \right|}}\)

Lời giải

Hai đường thẳng đã cho có vectơ pháp tuyến lần lượt là \({\vec n_1} = (1; - m),{\vec n_2} = (1;m)\).

Ta có: \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_2}} \right|}} = \frac{{\left| {1 - {m^2}} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2}}  \cdot \sqrt {1 + {m^2}} }} = \cos 60^\circ  \Rightarrow \frac{{\left| {1 - {m^2}} \right|}}{{1 + {m^2}}} = \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow 2\left| {1 - {m^2}} \right| = 1 + {m^2} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2(1 - {m^2}) = 1 + {m^2}}\\{2(1 - {m^2}) =  - 1 - {m^2}}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{3{m^2} = 1}\\{{m^2} = 3}\end{array} \Rightarrow m =  \pm \sqrt 3  \vee m =  \pm \sqrt {\frac{1}{3}} } \right.} \right.{\rm{. }}\)

Vậy \(m =  \pm \sqrt 3  \vee m =  \pm \sqrt {\frac{1}{3}} \) thỏa mãn đề bài

Câu 38 (0,5điểm) Tìm hệ số của \({x^7}\) trong khai triển biểu thức \({x^2}{\left( {2x - 1} \right)^8} + {\left( {3x - 1} \right)^{10}}\)

Phương pháp

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton.

Lời giải

\({x^2}{\left( {2x - 1} \right)^8} + {\left( {3x - 1} \right)^{10}}\)=\({x^2}\sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k.{{\left( {2x} \right)}^{8 - k}}{{\left( { - 1} \right)}^k}}  + \sum\limits_{m = 0}^{10} {C_{10}^m.{{\left( {3x} \right)}^{10 - m}}{{\left( { - 1} \right)}^m}} \)

\( = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{{.2}^{8 - k}}{{\left( { - 1} \right)}^k}} {x^{10 - k}} + \sum\limits_{m = 0}^{10} {C_{10}^m{{.3}^{10 - m}}{{\left( { - 1} \right)}^m}} {x^{10 - m}}\)

Hệ số \({x^7}\) ứng với \(k = 3\); \(m = 3\).

Hệ số cần tìm là \(C_8^3{.2^5}{\left( { - 1} \right)^3} + C_{10}^3{.3^7}{\left( { - 1} \right)^3} =  - 264232\)

Câu 39 (0,5 điểm) Có bao nhiêu cách xếp \(7\) bạn nam và \(5\) bạn nữ vào một bàn tròn có 12 chỗ ngồi, sao cho không có hai bạn nữ nào ngồi cạnh nhau.

Phương pháp

Sử dụng các công thức đếm.

Lời giải

Xếp \(7\) bạn nam vào bàn tròn có \(1.6.5.4.3.2.1 = 720\) cách xếp.

Khi đó 7 bạn nam chia vòng tròn quanh bàn thành \(7\) khoảng trống.

Xếp 5 bạn nữ vào \(7\) khoảng trống đó sao cho mỗi khoảng trống xếp nhiều nhất một bạn nữ. Số cách xếp 5 bạn nữ là: \(7.6.5.4.3 = 2520\) cách xếp.

Theo quy tắc nhân có: \(720 \times 2520 = 1814400\) cách xếp.

---------Hết----------