Phương pháp giải:

Áp dụng công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính cạnh  \(AC:\,\,\,\,\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}.\)

Kết hợp với giả thiết \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{5}{6}\)  để tính các cạnh \(AB,\,\,AC.\)

Áp dụng công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính cạnh \(HB:\,\,\,A{B^2} = HB.BC \Rightarrow HC.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{5}{6} \Rightarrow AB = \frac{5}{6}AC\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có:

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{{30}^2}}} = \frac{{36}}{{25A{C^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{{{{30}^2}}} = \frac{{61}}{{25A{C^2}}} \Leftrightarrow A{C^2} = 2196 \Leftrightarrow AC = 6\sqrt {61} \,\,\,\left( {cm} \right)\\ \Rightarrow AB = \frac{5}{6}.6\sqrt {61}  = 5\sqrt {61} \,\,\left( {cm} \right).\end{array}\)

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABH\) vuông tại \(A\) có: \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)

\( \Leftrightarrow B{C^2} = 1525 + 2196 = 3721 \Rightarrow BC = 61\,\,\left( {cm} \right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có:

\( \Rightarrow A{B^2} = BH.BC\)\( \Leftrightarrow {\left( {5\sqrt {61} } \right)^2} = 61.BH\,\, \Leftrightarrow BH = 25\,\,\,\left( {cm} \right)\)

Ta có: \(CH = BC - BH = 61 - 25 = 36\,\,\,\left( {cm} \right).\)

Chọn B.