Phương pháp giải:

+) Quy đồng mẫu các phân thức và biến đổi, rút gọn biểu thức.

+) Giải phương trình \(2P = 2\sqrt x  + 5,\) tìm \(x\) sau đó đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Chứng minh rằng \(P = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}\)

Điều kiện:  \(x > 0,x \ne 1\)

\(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{{x - 2}}{{x + 2\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x  + 2}}} \right).\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}}\, = \left( {\frac{{x - 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}} + \frac{1}{{\sqrt x  + 2}}} \right).\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}}\\\,\,\,\,\, = \left( {\frac{{x - 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}} \right).\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}} = \frac{{x - 2 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}.\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}}\\\,\,\,\, = \frac{{x + 2\sqrt x  - \sqrt x  - 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}.\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}} = \frac{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}.\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}}\\\,\,\,\, = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}.\end{array}\)

Vậy với \(x > 0,x \ne 1\) ta có  \(P = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}.\)

b) Tìm \(x\)  để \(2P = 2\sqrt x  + 5\)

Điều kiện: \(x > 0,x \ne 1\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,2P = 2\sqrt x  + 5 \Leftrightarrow 2.\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }} = 2\sqrt x  + 5\\ \Leftrightarrow 2\sqrt x  + 2 = 2x + 5\sqrt x  \Leftrightarrow 2x + 3\sqrt x  - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 2x - \sqrt x  + 4\sqrt x  - 2 = 0 \Leftrightarrow \sqrt x \left( {2\sqrt x  - 1} \right) + 2\left( {2\sqrt x  - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  = \frac{1}{2}\\\sqrt x  =  - 2\,\,\,\,\left( {VN} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy \(x = \frac{1}{4}\) thì \(2P = 2\sqrt x  + 5.\)