Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện của \(x\) để biểu thức xác định.

+) Giải bất phương trình \(A < 0\) để tìm \(x,\) đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Rút gọn biểu thức \(A.\)

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\sqrt x  - 2 \ne 0\\3 - \sqrt x  \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 4\\x \ne 9\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}A = \left( {1 - \frac{{\sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 2}} + \frac{{\sqrt x  + 2}}{{3 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x  + 2}}{{x - 5\sqrt x  + 6}}} \right)\\ = \frac{{1 + \sqrt x  - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}:\left( {\frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 2}} + \frac{{\sqrt x  + 2}}{{3 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}} \right)\\ = \frac{1}{{1 + \sqrt x }}:\left( {\frac{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} + \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}} \right)\\ = \frac{1}{{1 + \sqrt x }}:\frac{{x - 9 - x + 4 + \sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\\ = \frac{1}{{1 + \sqrt x }}.\frac{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}{{\sqrt x  - 3}}\\ = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 1}}\end{array}\)

b) Tìm \(x\) để \(A < 0.\)

Với  \(x \ge 0;x \ne 9;x \ne 4\)  ta có: \(A = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 1}}\)

Ta có: \(A < 0 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 1}} < 0\).

Vì  \(\sqrt x  + 1 > 0,\forall x \ge 0 \Rightarrow A < 0 \Leftrightarrow \sqrt x  - 2 < 0 \Leftrightarrow \sqrt x  < 2 \Leftrightarrow x < 4\)  

Kết hợp với điều kiện \(x \ge 0;x \ne 9;x \ne 4\)  ta được: \(0 \le x < 4\) thì  \(A < 0.\)