Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện xác định của biểu thức.

+) Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi và rút gọn biểu thức.

+) Thay giá trị \(x\,\,\left( {tmdk} \right)\) vào biểu thức đã được rút gọn và tính giá trị của biểu thức.

+) Giải bất phương trình \(P <  - \frac{1}{2},\) tìm \(x\) sau đó đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Rút gọn \(P.\)

Điều kiện xác định: \(x \ge 0,x \ne 9\)

\(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} - \frac{{3x + 3}}{{x - 9}}} \right):\left( {\frac{{2\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  - 3}} - 1} \right)\\ = \left( {\frac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} + \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} - \frac{{3x + 3}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}} \right):\left( {\frac{{2\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  - 3}} - \frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  - 3}}} \right)\\ = \frac{{2x - 6\sqrt x  + x + 3\sqrt x  - 3x - 3}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}:\frac{{2\sqrt x  - 2 - \sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 3}}\\ = \frac{{ - 3\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}.\frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 1}}\\ = \frac{{ - 3}}{{\sqrt x  + 3}}.\end{array}\)

b) Tính giá trị của biểu thức \(P\) biết \(x = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\)

Ta có: \(x = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\,\,\,\left( {tmdk} \right) \Rightarrow \sqrt x  = \sqrt {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}}  = \frac{{\sqrt {6 - 2\sqrt 5 } }}{2} = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 5  - 1} \right)}^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt 5  - 1}}{2}\)

Khi đó ta có: \(P = \frac{{ - 3}}{{\sqrt x  + 3}} = \frac{{ - 3}}{{\frac{{\sqrt 5  - 1}}{2} + 3}} = \frac{{ - 6}}{{\sqrt 5  + 5}} = \frac{{3\left( {\sqrt 5  - 5} \right)}}{{10}}\)

c) Tìm \(x\)  để \(P < \frac{{ - 1}}{2}\)

Điều kiện xác định: \(x \ge 0,x \ne 9\)

Ta có: \(P = \frac{{ - 3}}{{\sqrt x  + 3}} < \frac{{ - 1}}{2} \Leftrightarrow \frac{3}{{\sqrt x  + 3}} > \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{6}{{2\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} - \frac{{\sqrt x  + 3}}{{2\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} > 0 \Leftrightarrow \frac{{3 - \sqrt x }}{{2\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} > 0\)

Với \(x \ge 0,x \ne 9\) ta có: \(2\left( {\sqrt x  + 3} \right) > 0\) .

Khi đó để \(P < \frac{{ - 1}}{2} \Leftrightarrow 3 - \sqrt x  > 0 \Leftrightarrow \sqrt x  < 3 \Leftrightarrow x < 9.\)

Vậy kết hợp điều kiện ta được: \(0 \le x < 9\)  thì \(P < \frac{{ - 1}}{2}.\)