Bài 8 trang 143 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Chứng minh rằng phương trình $x^5– 3x^4+ 5x – 2 = 0$ có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng $(-2, 5)$.

Lời giải chi tiết

Đặt $f(x) = x^5– 3x^4+ 5x – 2$, ta có:

+) Hàm số $f(x)$ là hàm số đa thức liên tục trên $\mathbb R$.

$\eqalign{ & \left\{ \matrix{ f(0) = - 2 < 0 \hfill \cr f(1) = 1 - 3 + 5 - 2 = 1 > 0 \hfill \cr f(2) = {2^5} - {3.2^4} + 5.2 - 2 = - 8 < 0 \hfill \cr f(3) = {3^5} - {3.3^4} + 5.3 - 2 = 13 > 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ f(0).f(1) < 0\,\,\,\,(1) \hfill \cr f(1).f(2) < 0\,\,\,\,(2) \hfill \cr f(2).f(3) < 0\,\,\,\,(3) \hfill \cr} \right. \cr}$

Do đó $f(x)$ có ít nhất một nghiệm trên khoảng $(0, 1)$, một nghiệm trên khoảng $(1, 2)$, một nghiệm trên khoảng $(2, 3)$.

Mà các khoảng $\left( {0;1} \right)$, $\left( {1;2} \right)$ và $\left( {2;3} \right)$ đôi một không có điểm chung.

Vậy phương trình $x^5– 3x^4+ 5x – 2=0$ có ít nhất ba nghiệm trên khoảng $(-2, 5)$ (đpcm)

Loigiaihay.com