Câu 6.62 trang 207 SBT Đại số 10 Nâng cao

Giải bài tập Câu 6.62 trang 207 SBT Đại số 10 Nâng cao

Quảng cáo

Đề bài

Chứng minh rằng với mọi \(\alpha \) mà \(\sin 2\alpha  \ne 0\), ta có

\(\sin \left( {\cot \alpha } \right) + \sin \left( {\tan \alpha } \right) = 2\sin \left( {\dfrac{1}{{\sin 2\alpha }}} \right)\cos \left( {\cot 2\alpha } \right)\)

Lời giải chi tiết

Đặt \(u = \dfrac{1}{2}\left( {\tan \alpha  + \cot \alpha } \right),\) \(v = \dfrac{1}{2}\left( {\tan \alpha  - \cot \alpha } \right)\) thì \(u + v = \tan \alpha ,u - v = \cot \alpha \). Khi đó ta có

\(\begin{array}{l}\sin \left( {\tan \alpha } \right) + \sin \left( {\cot \alpha } \right)\\ = \sin \left( {u + v} \right) + \sin \left( {u - v} \right)\\ = 2\sin u\cos v\\ = 2\sin \left[ {\dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}} \right)} \right].\cos \left[ {\dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}} \right)} \right]\\ = 2\sin \left( {\dfrac{1}{{2\sin \alpha \cos \alpha }}} \right).\cos \left( {\dfrac{{{{\sin }^2}\alpha  - {{\cos }^2}\alpha }}{{2\sin \alpha \cos \alpha }}} \right)\\ = 2\sin \left( {\dfrac{1}{{\sin 2\alpha }}} \right).\cos \left( {\cot 2\alpha } \right).\end{array}\)

Loigiaihay.com

Quảng cáo
list
close
Gửi bài Hỏi bài