Câu 6.62 trang 207 SBT Đại số 10 Nâng cao

Giải bài tập Câu 6.62 trang 207 SBT Đại số 10 Nâng cao

Quảng cáo

Đề bài

Chứng minh rằng với mọi \(\alpha \) mà \(\sin 2\alpha  \ne 0\), ta có

\(\sin \left( {\cot \alpha } \right) + \sin \left( {\tan \alpha } \right) = 2\sin \left( {\dfrac{1}{{\sin 2\alpha }}} \right)\cos \left( {\cot 2\alpha } \right)\)

Lời giải chi tiết

Đặt \(u = \dfrac{1}{2}\left( {\tan \alpha  + \cot \alpha } \right),\) \(v = \dfrac{1}{2}\left( {\tan \alpha  - \cot \alpha } \right)\) thì \(u + v = \tan \alpha ,u - v = \cot \alpha \). Khi đó ta có

\(\begin{array}{l}\sin \left( {\tan \alpha } \right) + \sin \left( {\cot \alpha } \right)\\ = \sin \left( {u + v} \right) + \sin \left( {u - v} \right)\\ = 2\sin u\cos v\\ = 2\sin \left[ {\dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}} \right)} \right].\cos \left[ {\dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}} \right)} \right]\\ = 2\sin \left( {\dfrac{1}{{2\sin \alpha \cos \alpha }}} \right).\cos \left( {\dfrac{{{{\sin }^2}\alpha  - {{\cos }^2}\alpha }}{{2\sin \alpha \cos \alpha }}} \right)\\ = 2\sin \left( {\dfrac{1}{{\sin 2\alpha }}} \right).\cos \left( {\cot 2\alpha } \right).\end{array}\)

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close