Bài 5 trang 27 (Ôn tập chương I - Vectơ) SGK Hình học 10

LG a

\(\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} \)

Lời giải chi tiết:

Cách 1:

Kéo dài \(OC\) cắt đường tròn tại điểm \(M\).

MC là đường kính nên \(\widehat {MBC} = {90^0} \Rightarrow MB \bot BC\).

Mà tam giác ABC đều nên \(AO\bot BC\).

Do đó MB//OA (1)

Lại có \(\widehat {MAC} = {90^0} \Rightarrow MA \bot AC\).

Mà tam giác ABC đều nên \(BO\bot AC\).

Do đó MA//BO (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(OAMB\) là hình bình hành, suy ra:

\(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OM} \).

Vậy M là điểm cần tìm.

Cách 2:

O là tâm tam giác ABC nên cũng là trọng tâm tam giác.

Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  =  - \overrightarrow {OC} \end{array}\)

Mà \(\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} \)

Nên \(\overrightarrow {OM}  =  - \overrightarrow {OC} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {OM} \) là véc tơ đối của \(\overrightarrow {OC} \) hay O là trung điểm của CM.

Mà OC là bán kính nên CM=2CO là đường kính của đường tròn.

Vậy M là giao điểm của CO với đường tròn.

Cách 3:

\(\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} \) \( \Leftrightarrow \) M là đỉnh còn lại của hình bình hành AOBM.

+ AOBM là hình bình hành ⇒ AM = OB

Mà OB = OA (= bán kính đường tròn) ⇒ AM = AO ⇒ ΔAMO cân tại A (1)

+ AOBM là hình bình hành ⇒ AM//BO

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {MAO} + \widehat {AOB} = {180^0}\\ \Leftrightarrow \widehat {MAO} + {120^0} = {180^0}\\ \Rightarrow \widehat {MAO} = {60^0}\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) ⇒ ΔAMO đều ⇒ OM = OA ⇒ M nằm trên đường tròn ngoại tiếp ΔABC.

Mà \(\widehat {AOM} = \widehat {BOM}\) nên M là điểm chính giữa cung AB.

LG b

\(\overrightarrow {ON}  = \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} \)

Lời giải chi tiết:

Nối \(OA\) và kéo dài cắt đường tròn tại điểm \(N\)

Tương tự như trên ta có:

\(\overrightarrow {ON}  = \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} \)

Cách khác:

\(\overrightarrow {ON}  = \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} \) \( \Leftrightarrow \) N là đỉnh còn lại của hình bình hành BOCN.

+ BOCN là hình bình hành ⇒ OB=CN

Mà OB = OC (= bán kính đường tròn) ⇒ CN = CO ⇒ ΔCNO cân tại C (1)

+ BOCN là hình bình hành ⇒ CN//BO

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {NCO} + \widehat {BOC} = {180^0}\\ \Leftrightarrow \widehat {NCO} + {120^0} = {180^0}\\ \Rightarrow \widehat {NCO} = {60^0}\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) ⇒ ΔCNO đều ⇒ ON = OC ⇒ N nằm trên đường tròn ngoại tiếp ΔABC.

Mà \(\widehat {BON} = \widehat {CON}\) nên N là điểm chính giữa cung BC.

LG c

\(\overrightarrow {OP}  = \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OA} \)

Lời giải chi tiết:

Nối \(OB\) và kéo dài cắt đường tròn tại điểm \(P\)

Tương tự như trên ta có:

\(\overrightarrow {OP}  = \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OA} \)

Cách khác:

\(\overrightarrow {OP}  = \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OA} \) \( \Leftrightarrow \) P là đỉnh còn lại của hình bình hành AOCP.

+ AOCP là hình bình hành ⇒ OA=PC

Mà OA = OC (= bán kính đường tròn) ⇒ OC = PC ⇒ ΔCPO cân tại C (1)

+ AOCP là hình bình hành ⇒ AO//CP

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {PCO} + \widehat {COA} = {180^0}\\ \Leftrightarrow \widehat {PCO} + {120^0} = {180^0}\\ \Rightarrow \widehat {PCO} = {60^0}\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) ⇒ ΔCPO đều ⇒ OP = OC ⇒ P nằm trên đường tròn ngoại tiếp ΔABC.

Mà \(\widehat {AOP} = \widehat {COP}\) nên P là điểm chính giữa cung AC.

Loigiaihay.com