Bài 9 trang 28 SGK Hình học 10

Đề bài

Chứng minh rằng nếu $G$ và $G’$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $ABC$ và $A’B’C’$ bất kì thì: $3\overrightarrow {GG'}  = \overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {CC'}.$

Lời giải chi tiết

G là trọng tâm tam giác ABC nên:

$\begin{array}{l} \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow - \overrightarrow {GA} - \overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} = \overrightarrow 0 \end{array}$

G' là trọng tâm tam giác A'B'C' nên:

$\overrightarrow {G'A'} + \overrightarrow {G'B'} + \overrightarrow {G'C'} = \overrightarrow 0$

Khi đó:

$\begin{array}{l} \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} \\ = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'A'} \\ + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'B'} \\ + \overrightarrow {CG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'C'} \\ = \left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} } \right)\\ + \left( {\overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {GG'} } \right)\\ + \left( {\overrightarrow {G'A'} + \overrightarrow {G'B'} + + \overrightarrow {G'C'} } \right)\\ = \overrightarrow 0 + 3\overrightarrow {GG'} + \overrightarrow 0 \\ = 3\overrightarrow {GG'} \\ \Rightarrow \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} = 3\overrightarrow {GG'} \end{array}$

Cách khác:

Ta có:

$\eqalign{ & \overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'G'} \cr & \overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {B'G'} \cr & \overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {C'G'} \cr}$

$\Rightarrow 3\overrightarrow {GG'} = (\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} )$$+ (\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} )$$+ (\overrightarrow {A'G'} + \overrightarrow {B'G'} + \overrightarrow {C'G'} )$       (1)

$G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên:

       $\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0$   (2)

$G’$ là trọng tâm của tam giác $A’B’C’$ nên:

$\eqalign{ & \overrightarrow {G'A'} + \overrightarrow {G'B'} + \overrightarrow {G'C'} = \overrightarrow 0 \cr & \Leftrightarrow \overrightarrow {A'G'} + \overrightarrow {B'G'} + \overrightarrow {C'G'} = \overrightarrow 0  \, \, \, (3)\cr}$

Từ (1), (2) và (3) suy ra:  $3\overrightarrow {GG'}  = \overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {CC'}.$

Loigiaihay.com