Bài 5 trang 107 SGK Đại số và Giải tích 11

LG a

$13^n-1$ chia hết cho $6$

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Với $n = 1$, ta có: $13^1– 1 = 13– 1 = 12 \,\,⋮\,\, 6$

Giả sử: $13^k- 1$ $⋮$ $6$ với mọi $k ≥ 1$

Ta chứng minh: $13^{k+1}– 1$ chia hết cho $6$

Thật vậy:

${13^{k + 1}}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}{13^{k + 1}}-{\rm{ }}{13^k} + {\rm{ }}{13^k} - 1{\rm{ }}$

$\begin{array}{l} = \left( {{{13}^{k + 1}} - {{13}^k}} \right) + \left( {{{13}^k} - 1} \right)\\ = {13^k}\left( {13 - 1} \right) + \left( {{{13}^k} - 1} \right) \end{array}$

$= {\rm{ }}{12.13^k} + {13^k}-{\rm{ }}1$

Vì : $12.13^k$ $⋮$ $6$ và $13^k– 1$ $⋮$ $6$ (theo giả thiết quy nạp)

Nên : $13^{k+1}– 1$ $⋮$ $6$

Vậy $13^n-1$ chia hết cho $6$ với mọi $n \in N^*$.

Quảng cáo

LG b

$3n^3+ 15n$ chia hết cho $9$

Lời giải chi tiết:

Với $n = 1$, ta có: $3.1^3+ 15.1 = 18$ $⋮$ $9$

Giả sử:  $3k^3+ 15k$ $⋮$ $9$ $\forall k \ge 1$.

Ta chứng minh: $3(k + 1)^3+ 15(k + 1)$ $⋮$ $9$

Thật vậy:

$3{\left( {k + 1} \right)^3} + 15\left( {k + 1} \right)$

$= 3.{\rm{ }}({k^3} + {\rm{ }}3{k^2} + {\rm{ }}3k + 1) + 15\left( {k + 1} \right)$

$= 3k^3+ 9k^2+ 9k + 15k + 18$

$= (3k^3+ 15k ) + 9(k^2+ k + 2)$

Vì $3k^3 + 15k$ $⋮$ $9$ (theo giả thiết quy nạp) và $9(k^2+ k + 2)$ $⋮$ $9$

Nên: $3(k + 1)^3+ 15(k + 1)$ $⋮$ $9$

Vậy: $3n^3+ 15n$ chia hết cho $9$ với mọi $n\in {\mathbb N}^*$

 Loigiaihay.com