Câu 4.75 trang 115 SBT Đại số 10 Nâng cao

LG a

\({x^2} - \left| {2{ {x}} - 1} \right| = 0\)

Phương pháp giải:

Bước 1: Xét từng khoảng của \(x\) để phá dấu giá trị tuyệt đối

Bước 2: Giải phương trình tương ứng

Bước 3: Đối chiếu nghiệm với khoảng đang xét

Bước 4: Kết luận tập nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Trường hợp 1: \( x \ge \dfrac 1 2 \)

Ta có: \(2{x} - 1 \ge 0 \Leftrightarrow \left| {2{ {x}} - 1} \right| = 2{x} - 1\)

Khi đó phương trình trở thành:

\(\begin{array}{l}
{x^2} - \left( {2x - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 0\\
\Leftrightarrow x = 1(\text {Thỏa mãn})
\end{array}\)

Trường hợp 2: \( x < \dfrac 1 2 \)

Ta có: \(2{x} - 1 < 0 \Leftrightarrow \left| {2{ {x}} - 1} \right| = - (2{x} - 1)\)

Khi đó phương trình trở thành:

\(\begin{array}{l}
{x^2} - \left[ { - \left( {2x - 1} \right)} \right] = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} + 2x - 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 1 + \sqrt 2 \;(t/m)\\
x = - 1 - \sqrt 2 \;\;(t/m)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {1; - 1 \pm \sqrt 2 } \right\}\)

LG b

\(\left| {{x^2} - 2{ {x}} - 3} \right| = {x^2} - 2{ {x}} + 5\)

Phương pháp giải:

Bước 1: Xét từng khoảng của \(x\) để phá dấu giá trị tuyệt đối

Bước 2: Giải phương trình tương ứng

Bước 3: Đối chiếu nghiệm với khoảng đang xét

Bước 4: Kết luận tập nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Trường hợp 1: 

\({x^2} - 2x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) \ge 0 \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ge 3}\\
{x \le - 1}
\end{array}} \right.\)

Khi đó PT trở thành:

\(\begin{array}{l}
{x^2} - 2x - 3 = {x^2} - 2x + 5\\
\Leftrightarrow - 3 = 5 \, (\text {Vô lí})
\end{array}\)

Trường hợp 2: \({x^2} - 2x - 3 < 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) < 0 \Leftrightarrow  - 1 < x < 3\)

Khi đó PT trở thành:

\(\begin{array}{l}
- \left( {{x^2} - 2x - 3} \right) = {x^2} - 2x + 5\\
\Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 + {x^2} - 2x + 5 = 0\\
\Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + 2 = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 0\\
\Leftrightarrow x = 1 \, (\text{thỏa mãn})
\end{array}\)

Vậy PT có nghiệm duy nhất \(x=1\).

LG c

 \(\left| {2{ {x}} - 3} \right| = \left| {x - 1} \right|\)

Phương pháp giải:

\(\left| A \right|{\rm{ }} = \left| B \right|\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{A = B}\\
{A = - B}
\end{array}} \right.\)

Hoặc: \(\left| A \right|{\rm{ }} = \left| B \right|\; \Leftrightarrow {A^2} = {B^2}\)

Lời giải chi tiết:

Cách 1:

Ta có: 

\(\left| {2x - 3} \right| = \left| {x - 1} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x - 3 = x - 1\\
2x - 3 = - \left( {x - 1} \right)
\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x - 3 = x - 1\\
2x - 3 = - x + 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x - x = 3 - 1\\
2x + x = 3 + 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
3x = 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x = \frac{4}{3}
\end{array} \right.
\end{array}\)

Cách 2:

Ta có: \(\left| {2{ {x}} - 3} \right| = \left| {x - 1} \right| \Leftrightarrow {\left( {2{ {x}} - 3} \right)^2} = {\left( {{ {x}} - 1} \right)^2}.\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 4{x^2} - 12x + 9 = {x^2} - 2x + 1\\
\Leftrightarrow 3{x^2} - 10x + 8 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x = \frac{4}{3}
\end{array} \right.
\end{array}\)

LG d

\(\left| {{x^2} - 2{ {x}} - 3} \right| = 2\)

Phương pháp giải:

\(\left| A \right| = a \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
A = a\\
A = - a
\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

\(x = 1 \pm \sqrt 6 ,x = 1 \pm \sqrt 2 .\)

Phương trình đã cho tương đương:

\(\left[ \begin{array}{l}
{x^2} - 2x - 3 = 2\\
{x^2} - 2x - 3 = - 2
\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} - 2x - 5 = 0\\
{x^2} - 2x - 1 = 0
\end{array} \right.\)

Mà: \({x^2} - 2x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt 6 \)

Và: \({x^2} - 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt 2 \)

Vậy tập nghiệm của PT là \(S = \left\{ {1 \pm \sqrt 2 ;\;1 \pm \sqrt 6 } \right\}\)