Câu 4.100 trang 119 SBT Đại số 10 Nâng cao

Giải bài tập Câu 4.100 trang 119 SBT Đại số 10 Nâng cao

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Giải các bất phương trình :

 

LG a

\(\sqrt {x - 1}  - \sqrt {x - 2}  > \sqrt {x - 3} \)

 

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: Phương trình viết thành

\(\sqrt {x - 1}  > \sqrt {x - 2}  + \sqrt {x - 3} .\)

Với điều kiện \(x ≥ 3\), bình phương hai vế ta được bất phương trình tương đương

\(\begin{array}{l}x - 1 > 2x - 5 + 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)} \\ \Leftrightarrow 4 - x > 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)} \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4 - x \ge 0}\\{{{\left( {4 - x} \right)}^2} > 4\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right).}\end{array}} \right.\end{array}\)

 

Lời giải chi tiết:

\(x \in \left[ {3;\dfrac{{6 + \sqrt {12} }}{3}} \right).\).

 

LG b

\(2x\left( {x - 1} \right) + 1 > \sqrt {{x^2} - x + 1} \)

 

Lời giải chi tiết:

\(x \in \left( { - \infty ,0} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right).\) Hướng dẫn. đặt \(t = \sqrt {{x^2} - x + 1}  \ge 0.\)

Bất phương trình trở thành \(2{t^2} - t - 1 > 0.\)

 

LG c

\(\sqrt {\dfrac{{4x}}{{x - 1}}}  - \sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{4x}}}  > \dfrac{3}{2}\)

 

Lời giải chi tiết:

\(x > 1.\)

 

LG d

\(\sqrt {x - \dfrac{1}{x}}  - \sqrt {1 - \dfrac{1}{x}}  > \dfrac{{x - 1}}{x}\)

 

Lời giải chi tiết:

Viết bất phương trình về dạng :

\(\sqrt {\dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{x}}  - \sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}}  > \dfrac{{x - 1}}{x}\) hay \(\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}} \left( {\sqrt {x + 1}  - 1} \right) > \dfrac{{x - 1}}{x}.\)

Điều kiện : \( - 1 \le x < 0\) hoặc \(x \ge 1.\)

Nhận thấy \(x = 1\) không phải là nghiệm của bất phương trình nên có thể coi \(x ≠ 1.\)

Khi đó \(\dfrac{{x - 1}}{x} > 0\) nên bất phương trình đã cho tương đương với

\(\sqrt {x + 1}  - 1 > \sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}}  \Leftrightarrow \sqrt {x + 1}  > 1 + \sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}} \)    (*)

+ Nếu \(-1 ≤ x < 0\) thì \(\sqrt {x + 1}  < 1\) suy ra bất phương trình không có nghiệm trong nửa khoảng \(\left[ { - 1;0} \right).\)

+ Với \(x > 1\), bình phương hai vế của (*) ta đi đến :

\(\left( {x - 1} \right) + \dfrac{1}{x} > 2\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}} .\)

Mặt khác, theo bất đẳng thức Cô-si ta có

\(\left( {x - 1} \right) + \dfrac{1}{x} \ge 2\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}} .\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x - 1 = \dfrac{1}{x}\) tức là khi và chỉ khi \(x = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}.\)

Vậy \(\left( {x - 1} \right) + \dfrac{1}{x} > 2\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}}  \Leftrightarrow 1 < x \ne \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}.\)

Kết luận. Tập nghiệm của bất phương trình là

\(\left( {1;\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right) \cup \left( {\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}; + \infty } \right)\)

Loigiaihay.com

 

Quảng cáo
list
close
Gửi bài