Bài 4 trang 159 SGK Đại số 10

Đề bài

Phát biểu định lí về dấu của một tam thức bậc hai $f(x) = ax^2+ bx + c$.

Áp dụng quy tắc đó, hãy xác định giá  trị của $m$ để tam thức sau luôn luôn âm:  $f(x) =  - 2{x^2} + 3x + 1 - m.$     

Lời giải chi tiết

Định lí: Tam thức bậc hai $f(x) = ax^2+ bx + c (a ≠0)$

có biệt thức $Δ = b^2– 4ac$

- Nếu $Δ < 0$ thì $f(x)$ cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x∈\mathbb R$

- Nếu $Δ = 0$ thì $f(x)$ luôn cùng dấu với hệ số $a$ với mọi  $x \ne {{ - b} \over {2a}}$

- Nếu $Δ >0$ thì $f(x)$ có hai nghiệm $x_1;x_2$ ($x_1<x_2$)

$f(x)$ cùng dấu với hệ số $a$ khi  $x<x_1$ hoặc  $x>x_2$

$f(x)$ trái dấu với hệ số $a$ khi  $x_1<x<x_2$

Áp dụng: $f(x) =  - 2{x^2} + 3x + 1 - m$ có hệ số $a = -2<0$

Biệt thức: $Δ = 3^2- 4 .(- 2) (1-m) = 17 - 8m$

Ta có $a=-2 < 0$ nên tam thức $f(x)$ luôn âm (tức $f(x) < 0 , ∀x  ∈\mathbb R$ khi:

$\eqalign{ & \Delta < {\rm{ }}0 \Leftrightarrow 17 - 8m < 0 \cr & \Leftrightarrow m > {{17} \over 8}. \cr}$

 Loigiaihay.com