Bài 2 trang 160 SGK Đại số 10

LG a

Chứng minh rằng với mọi giá trị $m≠0$ phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Phương pháp giải:

Phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta ' > 0.$

Lời giải chi tiết:

$mx^2– 2x – 4m – 1 = 0$

$\eqalign{&  \, \Delta ' = {\rm{ }}1 + m\left( {4m + 1} \right) \cr&= 4{m^2} + m + 1 \cr }$

$\begin{array}{l} = \left( {4{m^2} + 2.\dfrac{1}{4}.2m + \dfrac{1}{{16}}} \right) + \dfrac{{15}}{{16}}\\ = {\left( {2m + \dfrac{1}{4}} \right)^2} + \dfrac{{15}}{{16}} > 0,\forall m \end{array}$

Vậy với $m ≠ 0$ phương trình có $2$ nghiệm phân biệt.

LG b

Tìm giá trị của $m$ để $- 1$ là một nghiệm của phương trình. Sau đó tìm nghiệm còn lại.

Phương pháp giải:

Áp dụng hệ thức Vi-ét:  $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow m{\left( { - 1} \right)^2} - 2.\left( { - 1} \right) - 4m - 1 = 0\\ \Leftrightarrow m + 2 - 4m - 1 = 0\\ \Leftrightarrow - 3m + 1 = 0\\ \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{3} \end{array}$

Với $m = {1 \over 3}$ , phương trình có nghiệm $x_1= -1$.

Gọi nghiệm còn lại là $x_2$.

Theo định lí Vi-et: 

${x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a} = \dfrac{2}{m}$ $\Rightarrow {x_2} = \dfrac{2}{m} - {x_1} = \dfrac{2}{{\dfrac{1}{3}}} - \left( { - 1} \right) = 7$

Vậy nghiệm còn lại là ${x_2} = 7$.

Loigiaihay.com