Bài 3 trang 160 SGK Đại số 10

LG a

Xem xét với giá trị nào của $m$, phương trình trên có nghiệm.

Phương pháp giải:

Phương trình bậc hai có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta ' \ge 0.$

Lời giải chi tiết:

Phương trình có nghiệm

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2m} \right)^2} - 1.9{\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 9\left( {{m^2} - 2m + 1} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow - 5{m^2} + 18m - 9 \ge 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{5} \le m \le 3 \end{array}$

Phương trình có nghiệm nếu $m \in \left[ {{3 \over 5}; \, 3} \right]$

LG b

Giả sử $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình đã cho, hãy tính tổng và tích của chúng. Tìm một hệ thức liên hệ giữa $x_1$ và $x_2$ không phụ thuộc vào $m$.

Phương pháp giải:

Áp dụng hệ thức Vi-ét:  $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..$

Lời giải chi tiết:

Với  $m \in \left[ {{3 \over 5},3} \right]$ phương trình có các nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn

$x_1+x_2= 4m$ (1)  và   $x_1.x_2= 9(m-1)^2$   (2)

$\left( 1 \right) \Rightarrow m = \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{4}$

Thay vào $\left( 2 \right)$ ta được:

$\begin{array}{l}{x_1}{x_2} = 9{\left( {\dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{4} - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x_1}{x_2} = 9.\dfrac{{{{\left( {{x_1} + {x_2} - 4} \right)}^2}}}{{16}}\\ \Leftrightarrow 16{x_1}{x_2} = 9{\left( {{x_1} + {x_2} - 4} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 9{\left( {{x_1} + {x_2} - 4} \right)^2} - 16{x_1}{x_2} = 0\end{array}$

Đó là hệ thức giữa hai nghiệm của phương trình độc lập với tham số $m.$

LG c

Xác định $m$ để hiệu các nghiệm của phương trình bằng $4$.

Phương pháp giải:

Áp dụng hệ thức Vi-ét:  $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..$

Lời giải chi tiết:

Không mất tính tổng quát, ta giả sử phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: $x_2 > x_1.$

Khi đó ta có: $x_2– x_1= 4;x_1+ x_2= 4m$

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {x_2} - {x_1} = 4\\ {x_2} + {x_1} = 4m \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2{x_2} = 4 + 4m\\ {x_2} - {x_1} = 4 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_2} = 2 + 2m\\ {x_1} = {x_2} - 4 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_2} = 2 + 2m\\ {x_1} = 2m - 2 \end{array} \right. \end{array}$

Mà

$\begin{array}{l} {x_1}{x_2} = 9{\left( {m - 1} \right)^2}\\ \Rightarrow \left( {2 + 2m} \right)\left( {2m - 2} \right) = 9{\left( {m - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4m + 4{m^2} - 4 - 4m = 9\left( {{m^2} - 2m + 1} \right)\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 4 = 9{m^2} - 18m + 9\\ \Leftrightarrow 5{m^2} - 18m + 13 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 1\\ m = \dfrac{{13}}{5} \end{array} \right.\left( {TM} \right) \end{array}$

Kết luận: Nếu $m = 1$ hoặc $m = {{13} \over 5}$ thì hiệu của $2$ nghiệm bằng $4$.

Loigiaihay.com