Bài 4 trang 160 SGK Đại số 10

LG a

$5(x-1) < x^5– 1< 5x^4(x-1)$, biết $x – 1 > 0$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

Vì

$\begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\left( {{x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1} \right)\\ = {x^5} - {x^4} + {x^4} - {x^3} + {x^3} - {x^2} \\+ {x^2} - x + x - 1\\ = {x^5} - 1\end{array}$

LG b

$x^5+ y^5– x^4y – xy^4≥ 0$, biết $x + y ≥ 0$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l} {x^5} + {y^5} - {x^4}y - x{y^4}\\ = \left( {{x^5} - {x^4}y} \right) - \left( {x{y^4} - {y^5}} \right)\\ = {x^4}\left( {x - y} \right) - {y^4}\left( {x - y} \right)\\ = \left( {x - y} \right)\left( {{x^4} - {y^4}} \right)\\ = \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} - {y^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\\ = \left( {x - y} \right)\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\\ = {\left( {x - y} \right)^2}\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \end{array}$

Vì 

$\left\{ \begin{array}{l} {\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\\ x + y \ge 0\\ {x^2} + {y^2} \ge 0 \end{array} \right.$

nên ${\left( {x - y} \right)^2}\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \ge 0$

Hay ta có đpcm.

LG c

$\sqrt {4a + 1}  + \sqrt {4b + 1}  + \sqrt {4c + 1}  < 5$, biết rằng $a, b, c$  cùng lớn hơn $- \dfrac{1}{4}$ và  $a + b + c = 1.$

Phương pháp giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si: $a + b \ge 2\sqrt {ab}  \Leftrightarrow \sqrt {ab}  \le \dfrac{{a + b}}{2}$

Lời giải chi tiết:

Cách khác:

Với 

$a,b,c > - \dfrac{1}{4} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4a + 1 > 0\\ 4b + 1 > 0\\ 4c + 1 > 0 \end{array} \right.$

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

$\sqrt {4a + 1}  = \sqrt {\left( {4a + 1} \right).1}$$\le \dfrac{{\left( {4a + 1} \right) + 1}}{2} = 2a + 1$

$\sqrt {4b + 1}  = \sqrt {\left( {4b + 1} \right).1}$$\le \dfrac{{\left( {4b + 1} \right) + 1}}{2} = 2b + 1$

$\sqrt {4c + 1}  = \sqrt {\left( {4c + 1} \right).1}$$\le \dfrac{{\left( {4c + 1} \right) + 1}}{2} = 2c + 1$

Cộng vế với vế các bđt trên ta được:

$\sqrt {4a + 1}  + \sqrt {4b + 1}  + \sqrt {4c + 1}$ $\le \left( {2a + 1} \right) + \left( {2b + 1} \right) + \left( {2c + 1} \right)$

$= 2a + 2b + 2c + 3$ $= 2\left( {a + b + c} \right) + 3$ $= 2.1 + 3 = 5$

$\Rightarrow \sqrt {4a + 1}  + \sqrt {4b + 1}  + \sqrt {4c + 1}  \le 5$

Dấu “=” xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}4a + 1 = 1\\4b + 1 = 1\\4c + 1 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\\c = 0\end{array} \right.$ (không thỏa mãn $a + b + c = 1$)

Vậy dấu “=” không xảy ra hay $\sqrt {4a + 1}  + \sqrt {4b + 1}  + \sqrt {4c + 1}  < 5$.

Suy ra ĐPCM.

Cách khác:

Dấu “=” xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}4a + 1 = 1\\4b + 1 = 1\\4c + 1 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\\c = 0\end{array} \right.$ (không thỏa mãn $a + b + c = 1$)

Vậy dấu “=” không xảy ra hay $\sqrt {4a + 1}  + \sqrt {4b + 1}  + \sqrt {4c + 1}  < 5$.

Suy ra ĐPCM.

Loigiaihay.com