Bài 6 trang 160 SGK Đại số 10

LG a

Xét dấu biểu thức: $f(x) = 2x(x+2) – (x+2)(x+1).$

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí dấu của tam thức bậc hai: “Tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt thì rong khoảng hai nghiệm trái dấu với $a$, ngoài khoảng hai nghiệm cùng dấu với $a$”.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}f\left( x \right) = 2x\left( {x + 2} \right) - \left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)\\ = 2{x^2} + 4x - \left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\\ = {x^2} + x - 2\end{array}$

Tam thức bậc hai $f\left( x \right) = {x^2} + x - 2$ có $a = 1 > 0$ và hai nghiệm ${x_1} = 1,{x_2} =  - 2$ nên:

+) $f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\x <  - 2\end{array} \right.$

+) $f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 2\end{array} \right.$

+) $f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow  - 2 < x < 1$.

Cách khác:

$\begin{array}{l} f\left( x \right) = 2x\left( {x + 2} \right) - \left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)\\ = \left( {x + 2} \right)\left( {2x - x - 1} \right) \\= \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right). \end{array}$

Khi đó: 

$\begin{array}{l} f\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x + 2 \ge 0\\ x - 1 \ge 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x + 2 \le 0\\ x - 1 \le 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x \ge - 2\\ x \ge 1 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x \le - 2\\ x \le 1 \end{array} \right. \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \ge 1\\ x \le - 2 \end{array} \right.. \end{array}$ 

$\begin{array}{l} f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) < 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x + 2 > 0\\ x - 1 < 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x + 2 < 0\\ x - 1 > 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x > - 2\\ x < 1 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x < - 2\\ x > 1 \end{array} \right. \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow - 2 < x < 1. \end{array}$

Vậy $f\left( x \right) > 0$ khi $x \in \left( {-\infty;\; - 2} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right).$

$f(x) < 0$ khi $x \in \left( { - 2;\;1} \right).$

$f(x)=0$ khi $x=-2$ hoặc $x=1$.

LG b

Lập bảng biến thiên và vẽ trong cùng một hệ tọa độ vuông góc các đồ thị của các hàm số sau

$y = 2x(x+2) (C_1)$ và $y = (x+2)(x+1) (C_2).$

Tính tọa độ các giao điểm $A$ và $B$ của $(C_1)$ và $(C_2)$

Lời giải chi tiết:

*) Hàm số: $y = 2x\left( {x + 2} \right) = 2{x^2} + 4x.$

+) Tập xác định: R.

$\begin{array}{l} - \dfrac{b}{{2a}} = - \dfrac{4}{{2.2}} = - 1\\ - \dfrac{\Delta }{{4a}} = - 2 \end{array}$

Hàm số có $a = 2 > 0$ nên đồng biến trên $\left( { - 1; + \infty } \right)$ và nghịch biến trên $\left( { - \infty ; - 1} \right)$.

Ta có bảng biến thiên:

Đồ thị:

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với các trục tọa độ: $\left( { - 2;\;0} \right),\;\left( {0;\;0} \right).$

+) Trục đối xứng $x=-1$

+) Đỉnh: $\left( { - 1;\; - 2} \right).$

*) Xét hàm số $y = \left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) = {x^2} + 3x + 2.$

$\begin{array}{l} - \dfrac{b}{{2a}} = - \dfrac{3}{{2.1}} = - \dfrac{3}{2}\\ - \dfrac{\Delta }{{4a}} = - \dfrac{1}{4} \end{array}$

Hàm số có $a = 1 > 0$ nên đồng biến trên $\left( { - \dfrac{3}{2}; + \infty } \right)$ và nghịch biến trên $\left( { - \infty ; - \dfrac{3}{2}} \right)$

Bảng biến thiên

Đồ thị:

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với các trục tọa độ: $\left( { - 2;\;0} \right),\;\left( {-1;\;0} \right).$

+) Trục đối xứng $x =  - \dfrac{3}{2}$

+) Đỉnh: $\left( { - \dfrac{3}{2}; - \dfrac{1}{4}} \right)$

Đồ thị (C₁) và (C₂)

Hoành độ các giao điểm $A$ và $B$ của (C₁) và (C₂) là nghiệm của phương trình

Quan sát đồ thị ta thấy hai giao điểm $A(-2; 0) , B(1; 6)$.

Cách khác:

$\begin{array}{l} 2x\left( {x + 2} \right) = \left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2x\left( {x + 2} \right) - \left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {2x - x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + 2 = 0\\ x - 1 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 2 \Rightarrow y = 0\\ x = 1 \Rightarrow y = 6 \end{array} \right.\\ \Rightarrow A\left( { - 2;0} \right),B\left( {1;6} \right) \end{array}$

LG c

Tính các hệ số $a, b, c$ để hàm số $y = ax^2+ bx + c$ có giá trị lớn nhất bằng $8$ và đồ thị của nó đi qua $A$ và $B$.

Lời giải chi tiết:

Theo đề bài ta có đồ thị hàm số $y = a{x^2} + bx + c$ đi qua A và B nên:

$\left\{ \begin{array}{l}4x - 2b + c = 0\\a + b + c = 6\end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3a - 3b = - 6\\ c = 6 - \left( {a + b} \right) \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a - b = - 2\\ c = 6 - \left( {a + b} \right) \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = b - 2\\ c = 6 - \left( {b - 2 + b} \right) \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = b - 2\\ c = 8 - 2b \end{array} \right. \end{array}$

Để hàm số $y = a{x^2} + bx + c$ đạt giá trị lớn nhất bằng 8 thì:

$\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\dfrac{{ - \Delta }}{{4a}} = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\dfrac{{4ac - {b^2}}}{{4a}} = 8\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\4ac - {b^2} = 32a\;\;\;\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Thay (1) vào (2) ta có:

+) Với $b = 0$ ta có: $a =  - 2,\;\;c = 8 \Rightarrow y =  - 2{x^2} + 8.$

+) Với $b = \dfrac{{16}}{9}$ thì $a =  - \dfrac{2}{9},\;\;c = \dfrac{{40}}{9}$$\Rightarrow y =  - \dfrac{2}{9}{x^2} + \dfrac{{16}}{9}x + \dfrac{{40}}{9}.$

Loigiaihay.com