Bài 4 trang 121 SGK Hình học 11

Đề bài

Hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$ và có góc $\widehat{ BAD} = 60^0$. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và $SO = {{3a} \over 4}$ . Gọi $E$ là trung điểm của đoạn $BC$ và $F$ là trung điểm của đoạn $BE$.

a) Chứng minh mặt phẳng $(SOF)$ vuông góc với mặt phẳng $(SBC)$

b) Tính các khoảng cách từ $O$ và $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$

Lời giải chi tiết

a) Theo giả thiết $\widehat{ BAD} = 60^0$ nên theo tính chất của hình thoi $\widehat{ BCD} = 60^0$ hay tam giác $BDC$ đều.

$\Rightarrow BD = a \Rightarrow BO = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{a}{2}$; $BE = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{a}{2}$

Xét tam giác $BOE$ có $BO=BE=\dfrac{{a}}{2}$ và $\widehat{ OBE} = 60^0$ nên tam giác $BOE$ đều

Do đó $OF$ là đường cao và ta được $OF ⊥BC$. 

$\left\{ \begin{array}{l} SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow BC \bot SO\\ BC \bot OF \end{array} \right.$ $\Rightarrow BC \bot \left( {SOF} \right)$

Mà $BC ⊂ (SBC)\Rightarrow (SOF) ⊥ (SBC)$

b) Kẻ $OH \bot SF$

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \left( {SOF} \right) \bot \left( {SBC} \right)\\ \left( {SOF} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SF\\ OH \bot SF\\ OH \subset \left( {SOF} \right) \end{array} \right.\\ \Rightarrow OH \bot \left( {SBC} \right)\\ \Rightarrow d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right) = OH \end{array}$

Ta có:

Tam giác $OBF$ vuông tại $F$ nên $OF = \sqrt {O{B^2} - B{F^2}}$ $= \sqrt {{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{a}{4}} \right)}^2}}  = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}$

Tam giác $SOF$ vuông tại $O$ có $\begin{array}{l}SO = \dfrac{{3a}}{4};\,\,OF = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\\ \Rightarrow SF = \sqrt {S{O^2} + O{F^2}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\\OH.SF = SO.OF \Rightarrow OH = \dfrac{{SO.OF}}{{SF}} = \dfrac{{3a}}{8}\end{array}$

Gọi $K$ là hình chiếu của $A$ trên $(SBC)$, ta có $AK//OH$

Trong $ΔAKC$ thì $OH$ là đường trung bình, do đó: $AK = 2OH \Rightarrow AK =\dfrac{{3a}}{4}$.

Vậy $d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{{3a}}{4}$

Loigiaihay.com