Câu 3.16 trang 87 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Hãy xét tính tăng - giảm của các dãy số sau:

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Hãy xét tính tăng - giảm của các dãy số sau:

LG a

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {{{3^n}} \over {{2^{n + 1}}}}\)

Lời giải chi tiết:

 Dễ thấy \({u_n} > 0\) với mọi \(n \in N^*.\) Hơn nữa ta có

\({{{u_n}} \over {{u_{n + 1}}}} = {{{3^n}} \over {{2^{n + 1}}}} \times {{{2^{n + 2}}} \over {{3^{n + 1}}}} = {2 \over 3} < 1\)

Vì thế \(\left( {{u_n}} \right)\) là một dãy số tăng.

LG b

 Dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = {{\sqrt n } \over {{2^n}}}\)

Lời giải chi tiết:

Dễ thấy \({v_n} > 0\) với mọi \(n \in N^*.\) Hơn nữa, xét tỉ số \({{{v_n}} \over {{v_{n + 1}}}}\) ta có

            \({{{v_n}} \over {{v_{n + 1}}}} = {{\sqrt n } \over {{2^n}}} \times {{{2^{n + 1}}} \over {\sqrt {n + 1} }}={{2\sqrt n } \over {\sqrt {n + 1} }} > 1\,\,\,\left( {\forall n \ge 1} \right)\)

Vì thế, \(\left( {{v_n}} \right)\) là một dãy số giảm.

LG c

Dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) với \({u_n} = {{{3^n}} \over {{n^2}}}\)

Lời giải chi tiết:

Dễ thấy \({a_n} > 0\) với mọi \(n \in N^*.\) Xét tỉ số \({{{a_n}} \over {{a_{n + 1}}}}\) ta có

            \({{{a_n}} \over {{a_{n + 1}}}} = {{{3^n}} \over {{n^2}}} \times {{{{\left( {n + 1} \right)}^2}} \over {{3^{n + 1}}}} = {1 \over 3}{\left( {1 + {1 \over n}} \right)^2}\,\,\,\)

Từ đó suy ra

\({{{a_n}} \over {{a_{n + 1}}}} < 1 \Leftrightarrow 1 + {1 \over n} < \sqrt 3  \Leftrightarrow n > {1 \over {\sqrt 3  - 1}} \Leftrightarrow n \ge 2\)

\((do\,\,n \in N^*)\)

\({{{a_n}} \over {{a_{n + 1}}}} > 1 \Leftrightarrow 1 + {1 \over n} > \sqrt 3  \Leftrightarrow n < {1 \over {\sqrt 3  - 1}} \Leftrightarrow n = 1\)

\((do\,\,n \in N^*)\)

Như vậy, ta có \({a_1} > {a_2}\) và \({a_2} < {a_3} < ... < {a_n} < {a_{n + 1}} < ...\)

Vì thế, \(\left( {{a_n}} \right)\) không là dãy số tăng, cũng không là dãy số giảm.

Loigiaihay.com

Quảng cáo

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

close