Câu 25 trang 119 Sách bài tập Hình học 11 Nâng caoGiải bài tập Câu 25 trang 119 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao Quảng cáo
Đề bài Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Lấy các điểm I, J, K lần lượt thuộc các đường thẳng BC, AC, AD sao cho \(\overrightarrow {IB} = k\overrightarrow {IC} ,\overrightarrow {J{\rm{A}}} = k\overrightarrow {JC} ,\overrightarrow {K{\rm{A}}} = k\overrightarrow {K{\rm{D}}} \) trong đó k là số khác 0 cho trước. Chứng minh rằng: a) MN ⊥ IJ và MN ⊥IK b) AB ⊥ CD Lời giải chi tiết
a) Từ \(\eqalign{ & \overrightarrow {IB} = k\overrightarrow {IC} \cr & \overrightarrow {J{\rm{A}}} = k\overrightarrow {JC} \cr} \) ta có IJ // AB. Tương tự, ta có IK // CD. Do các cạnh của tứ diện ABCD bằng nhau và N là trung điểm của CD nên NA = NB. Mặt khác MA = MB do đó MN ⊥ AB, suy ra MN ⊥ IJ. Tương tự như trên, ta có MN ⊥ CD và IK // CD nên MN ⊥ JK. b) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {NB} \). Từ giả thiết, ta có: \(AN \bot C{\rm{D}}\) tức là \(\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {C{\rm{D}}} = 0\); \(BN \bot C{\rm{D}}\) tức là \(\overrightarrow {BN} .\overrightarrow {C{\rm{D}}} = 0\). Vậy \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {C{\rm{D}}} = \left( {\overrightarrow {AN} + \overrightarrow {NB} } \right).\overrightarrow {C{\rm{D}}} = 0\) tức là \(AB \bot C{\rm{D}}\) . Loigiaihay.com
Quảng cáo
|