Bài 2.37 trang 36 SBT Đại số 10 Nâng cao

Đề bài

Chứng minh rằng \(y = 0\) là hàm số duy nhất xác định trên \(R\) và có đồ thị nhận trục hoành làm trục đối xứng.

Hướng dẫn. Từ định nghĩa hàm số ta có nhận xét rằng mỗi đường thẳng song song với trục tung thì cắt đồ thị của hàm số tại không quá một điểm.

Lời giải chi tiết

Hiển nhiên hàm số \(y = 0\) xác định với mọi \(x\) và có đồ thị đối xứng qua trục hoành.

Giả sử hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \(R\), có đồ thị \((G)\) nhận trục hoành làm trục đối xứng.

Khi đó

\(\forall x \in R:M\left( {x;y} \right) \in \left( G \right)\)

\( \Leftrightarrow M'\left( {x; - y} \right) \in \left( G \right).\)

Điều này có nghĩa là

\(\forall x \in R:y = f\left( x \right) \Leftrightarrow  - y = f\left( x \right)\)

Suy ra \(y = 0\) với mọi \(x\).

Vậy hàm số \(y = 0\) là hàm số duy nhất có đồ thị đối xứng qua trục hoành.

Chú ý. Cũng có thể chứng minh rằng \((G)\) trùng với trục hoành.

Thật vậy, nếu trái lại thì phải có một điểm \(M(x_0) ; y_0)\) thuộc \((G)\) và \(y_0 ≠ 0\).

Khi đó, do tính đối xứng qua trục hoành, điểm \(M'\left( {{x_0}; - {y_0}} \right)\) cũng thuộc \((G)\).

Ta có đường thẳng \(MM’\) song song với trục tung, cắt \((G)\) tại hai điểm phân biệt \(M\) và \(M’\).

Đó là điều không thể xảy ra đối với đồ thị của một hàm số.

Loigiaihay.com