Câu 22 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng caoGọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD a. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua G và một đỉnh của tứ diện sẽ đi qua trọng tâm của mặt đối diện với đỉnh ấy b. Gọi A’ là trọng tâm của mặt BCD. Chứng minh rằng GA = 3GA’ Quảng cáo
Đề bài Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD a. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua G và một đỉnh của tứ diện sẽ đi qua trọng tâm của mặt đối diện với đỉnh ấy b. Gọi A’ là trọng tâm của mặt BCD. Chứng minh rằng GA = 3GA’ Phương pháp giải - Xem chi tiết - G là trọng tâm tứ diện thì G là trung điểm của đoạn nối trung điểm hai cạnh đối của tứ diện. - Định lí Menelaus: Giả sử đường thẳng Δ cắt các cạnh (hoặc phần kéo dài) BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P thì : \({{MB} \over {MC}}.{{NC} \over {NA}}.{{PA} \over {PB}} = 1\)
Lời giải chi tiết
a. Gọi M, N là trung điểm của AB, CD. G là trọng tâm tứ diện nên G là trung điểm của MN hay GM=GN. Trong mp(ABN) gọi A’ là giao điểm của AG với trung tuyến BN của ΔBCD. Ta chứng minh A' là trọng tâm tam giác BCD hay A’B = 2A’N. Áp dụng định lí Menelaus trong ΔBMN với cát tuyến AGA’ ta có : \({{AM} \over {AB}}.{{GN} \over {GM}}.{{A'B} \over {A'N}} = 1 \)\(\Rightarrow {1 \over 2}.1.{{A'B} \over {A'N}} = 1 \Rightarrow A'B = 2A'N\) Vậy A’ là trọng tâm của ΔBCD Tương tự BG ,CG, DG lần lượt đi qua trọng tâm B’, C’, D’ của tam giác ACD, ABD, ABC. b. Chứng minh GA = 3GA’ Áp dụng định lí Menelaus trong ΔABA’ với cát tuyến MGN ta có : \({{MA} \over {MB}}.{{GA'} \over {GA}}.{{NB} \over {NA'}} = 1 \)\(\Rightarrow 1.{{GA'} \over {GA}}.3 = 1 \) \(\Rightarrow GA = 3GA'\,\,\left( {dpcm} \right)\) Loigiaihay.com  Chia sẻ Bình luận
Quảng cáo
Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
|
