Câu 21 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng caoCho tứ diện ABCD. Các điểm P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD; điểm R nằm trên cạnh BC sao cho BR = 2RC. Gọi S là giao điểm của mp(PQR) và cạnh AD. Chứng minh rằng AS = 2SD Quảng cáo
Đề bài Cho tứ diện ABCD. Các điểm P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD; điểm R nằm trên cạnh BC sao cho BR = 2RC. Gọi S là giao điểm của mp(PQR) và cạnh AD. Chứng minh rằng AS = 2SD. Phương pháp giải - Xem chi tiết Áp dụng định lí Menelaus để giải bài toán Giả sử đường thẳng Δ cắt các cạnh (hoặc phần kéo dài) BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P thì : \({{MB} \over {MC}}.{{NC} \over {NA}}.{{PA} \over {PB}} = 1\) Lời giải chi tiết Trong (ABC), gọi {I} = PR ∩ AC Ta có: \(\begin{array}{l} Trong mp(ACD) gọi {S} = QI ∩ AD Thì {S} = AD ∩ (PQR) Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ABC với cát tuyến PRI ta có \({{PA} \over {PB}}.{{RB} \over {RC}}.{{IC} \over {IA}} = 1 \)\(\Rightarrow 1.2.{{IC} \over {IA}} = 1\) \( \Rightarrow {{IC} \over {IA}} = {1 \over 2}\) ⇒ C là trung điểm của AI. Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ACD với cát tuyến IQS ta có : \({{IC} \over {IA}}.{{SA} \over {SD}}.{{QD} \over {QC}} = 1 \Rightarrow {1 \over 2}.{{SA} \over {SD}}.1 = 1 \) \(\Rightarrow SA = 2SD\,\,\left( {dpcm} \right)\) Loigiaihay.com
Quảng cáo
|