Bài 19 trang 96 SGK Hình học 10

Đề bài

Đường tròn đi qua ba điểm \(A(0; 2); B(-2; 0)\) và \(C(2; 0)\) có phương trình là:

A. \(x^2+ y^2 =8\)

B. \(x^2+ y^2+ 2x + 4 = 0\)

C. \(x^2+ y^2- 2x - 8 = 0\)                    

D. \(x^2+ y^2- 4 = 0\)

Lời giải chi tiết

Gọi phương trình đường tròn cần tìm \((C) :  x^2+ y^2– 2ax – 2by + c = 0\) với \(a^2+b^2-c> 0\).

\(A\left( {0;2} \right) \in \left( C \right) \) \(\Leftrightarrow {0^2} + {2^2} - 2a.0 - 2b.2 + c = 0  \) \(\Leftrightarrow 4 - 4b + c = 0\)

\(B\left( {-1;0} \right) \in \left( C \right) \) \(\Leftrightarrow {(-2)^2} + {0^2} - 2a.(-2) - 2b.0 + c = 0  \) \(\Leftrightarrow 4 + 4a + c = 0\)

\(C\left( {2;0} \right) \in \left( C \right) \) \(\Leftrightarrow {2^2} + {0^2} - 2a.2 - 2b.0 + c = 0  \) \(\Leftrightarrow 4 - 4a + c = 0\)

Ta có hệ:

\(\left\{ \matrix{
4 - 4b + c = 0 \hfill \cr
4 + 4a + c = 0 \hfill \cr
4 - 4a + c = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = 0 \hfill \cr
b = 0 \hfill \cr
c = - 4 \hfill \cr} \right.\)

Vậy phương trình đường tròn \((C)\) là: \(x^2+ y^2- 4 = 0\)

Do đó chọn D.

Cách khác:

Dễ thấy:

\(\begin{array}{l}
x_A^2 + y_A^2 = {0^2} + {2^2} = 4\\
x_B^2 + y_B^2 = {\left( { - 2} \right)^2} + {0^2} = 4\\
x_C^2 + y_C^2 = {2^2} + {0^2} = 4
\end{array}\)

Nên ba điểm \(A,B, C\) cùng thuộc đường tròn có phương trình:

\({x^2} + {y^2} = 4 \) \(\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4 = 0\)

Cách 2:

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2; - 2} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {2; - 2} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = \left( { - 2} \right).2 + \left( { - 2} \right).\left( { - 2} \right) = 0 \)

\(\Rightarrow AB \bot AC\) hay tam giác ABC vuông tại A.

Khi đó đường tròn đi qua ba điểm A, B, C là đường tròn đường kính BC.

\(B\left( { - 2;0} \right),C\left( {2;0} \right) \Rightarrow O\left( {0;0} \right)\) là trung điểm BC.

\(BC = \sqrt {{{\left( {2 + 2} \right)}^2} + {{\left( {0 - 0} \right)}^2}}  = 4\)

\( \Rightarrow R = \dfrac{{BC}}{2} = 2\)

Đường tròn (C) có tâm O(0;0) bán kính R=2 nên:

(C):\({x^2} + {y^2} = 4 \) \(\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4 = 0\)

Loigiaihay.com