Bài 1.87 trang 28 SBT Giải tích 12 Nâng cao

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  (H) của hàm số

\(y = {{x + 4} \over {x + 2}}\)

Lời giải chi tiết:

+) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\)

+) Chiều biến thiên:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = 1\) nên TCN \(y = 1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} y =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} y =  - \infty \) nên TCĐ \(x =  - 2\)

Ta có:

\(y' = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in D\)

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; + \infty } \right)\) nên không có cực trị.

BBT:

+) Đồ thị:

LG b

Chứng minh rằng parabol (P) có phương trình \(y = {x^2} + 2\) tiếp xúc với đường cong (H). Xác đinh tiếp điểm và viết phương trình tiếp tuyến chung của (H) và (C) tại điểm đó.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \frac{{x + 4}}{{x + 2}} \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\g\left( x \right) = {x^2} + 2 \Rightarrow g'\left( x \right) = 2x\end{array}\)

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x + 4}}{{x + 2}} = {x^2} + 2\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\frac{{ - 2}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 2x\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow x + 4 = \left( {{x^2} + 2} \right)\left( {x + 2} \right)\\ \Leftrightarrow x + 4 = {x^3} + 2{x^2} + 2x + 4\\ \Leftrightarrow {x^3} + 2{x^2} + x = 0\\ \Leftrightarrow x{\left( {x + 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 1\end{array} \right.\end{array}\)

Thay \(x = 0\) vào (2) không thỏa mãn.

Thay \(x =  - 1\) vào (2) thỏa mãn phương trình nên hệ có nghiệm duy nhất \(x =  - 1\).

Do đó (P) tiếp xúc (C ) tại điểm \(A\left( { - 1;3} \right)\).

Có \(f'\left( { - 1} \right) = g'\left( { - 1} \right) =  - 2\) nên phương trình tiếp tuyến:

\(y =  - 2\left( {x + 1} \right) + 3\) hay \(y =  - 2x + 1\).

LG c

Xét vị trí tương đối của (P) và (H) (tức là xác định mỗi khoảng trên đó (P) nằm phía trên hay phía dưới (H).

Lời giải chi tiết:

Ta thấy:

\(\begin{array}{l}\frac{{x + 4}}{{x + 2}} \ge {x^2} + 2\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2 \le \frac{{x + 4}}{{x + 2}}\\ \Leftrightarrow \frac{{{x^3} + 2{x^2} + x}}{{x + 2}} \le 0\\ \Leftrightarrow \frac{{x{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{x + 2}} \le 0\\ \Leftrightarrow  - 2 < x \le 0\end{array}\)

Do đó 

+) Trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\), (P) nằm phía trên (H)

+) Trên khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\), (P) nằm phía dưới (H).

Loigiahay.com