Câu 18 trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho dãy số (sn)

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho dãy số (sn) với  \({s_n} = \sin \left( {4n - 1} \right){\pi \over 6}.\)

LG a

Chứng minh rằng \({s_n} = {s_{n + 3}}\) với mọi \(n ≥ 1\)

Lời giải chi tiết:

Với \(n>1\) tùy ý, ta có :

\(\eqalign{
& {s_{n + 3}} = \sin \left[ {4\left( {n + 3} \right) - 1} \right]{\pi \over 6} \cr 
& = \sin \left[ {4n - 1 + 12} \right]{\pi \over 6} \cr 
& = \sin \left[ {\left( {4n - 1} \right){\pi \over 6} + 2\pi } \right] \cr 
& = \sin \left( {4n - 1} \right){\pi \over 6} = {s_n} \cr} \)

LG b

Hãy tính tổng \(15\) số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.

Lời giải chi tiết:

Từ kết quả phần a ta có :

\(\eqalign{
& {s_1} = {s_4} = {s_7} = {s_{10}} = {s_{13}}, \cr 
& {s_2} = {s_5} = {s_8} = {s_{11}} = {s_{14}}, \cr 
& {s_3} = {s_6} = {s_9} = {s_{12}} = {s_{15}} \cr} \)

Từ đó suy ra :

\({s_1} + {s_2} + {s_3} \)

\(= {s_4} + {s_5}{ + s_6} \)

\(= {s_7} + {s_8} + {s_9} \)

\(= {s_{10}} + {s_{11}} + {s_{12}} \)

\(= {s_{13}} + {s_{14}} + {s_{15}}\)

Do đó:

\({S_{15}} = {s_1} + {s_2} + ... + {s_{15}}\)

\(=({s_1} + {s_2} + {s_3})\)+\(({s_4} + {s_5}{ + s_6})\)+...+\(( {s_{13}} + {s_{14}} + {s_{15}})\)

\(= 5\left( {{s_1} + {s_2} + {s_3}} \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{s_1} = \sin \left[ {\left( {4.1 - 1} \right).\frac{\pi }{6}} \right] = \sin \frac{\pi }{2} = 1\\
{s_2} = \sin \left[ {\left( {4.2 - 1} \right).\frac{\pi }{6}} \right] = \sin \frac{{7\pi }}{6}\\
= \sin \left( {\pi + \frac{\pi }{6}} \right) = - \sin \frac{\pi }{6} = - \frac{1}{2}\\
{s_3} = \sin \left[ {\left( {4.3 - 1} \right).\frac{\pi }{6}} \right] = \sin \frac{{11\pi }}{6}\\
= \sin \left( {2\pi - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) = - \frac{1}{2}
\end{array}\)

Do đó \({s_1} = 1,{s_2} = - {1 \over 2}\,\text{ và }\,{s_3} = - {1 \over 2} \)

\( \Rightarrow {s_1} + {s_2} + {s_3} = 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0\)

\(\Rightarrow {s_{15}} =5.0= 0\)

 Loigiaihay.com

Quảng cáo

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

close