Câu 17 trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho dãy số (un) xác định bởi

Quảng cáo

Đề bài

Cho dãy số (un) xác định bởi

\(\displaystyle {u_1} = 1\,\text{ và }\,{u_{n + 1}} = {2 \over {u_n^2 + 1}}\) với mọi \(\displaystyle n ≥ 1\)

Chứng minh rằng (un) là một dãy số không đổi (dãy có tất cả các số hạng đều bằng nhau).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tính một vài số hạng đầu, nhận xét các số hạng của dãy.

- Chứng minh nhận xét bằng phương pháp quy nạp.

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{u_1} = 1\\
{u_2} = \frac{2}{{u_1^2 + 1}} = \frac{2}{{{1^2} + 1}} = 1\\
{u_3} = \frac{2}{{u_2^2 + 1}} = \frac{2}{{{1^2} + 1}} = 1\\
...
\end{array}\)

Do đó, dự đoán \(\displaystyle u_n= 1\)  (1) \(\displaystyle ∀ n \in \mathbb N^*\).

Ta chứng minh bằng qui nạp như sau:

+) Rõ ràng (1) đúng với \(\displaystyle n = 1\)

+) Giả sử (1) đúng với \(\displaystyle n = k\), tức là ta có \(\displaystyle u_k = 1\)

+) Ta chứng minh (1) đúng với \(\displaystyle n = k + 1\).

Thật vậy theo công thức truy hồi và giả thiết quy nạp ta có :

\(\displaystyle {u_{k + 1}} = {2 \over {u_k^2 + 1}} = {2 \over {1^2 + 1}}=1\)

Vậy (1) đúng với \(\displaystyle n = k + 1\), do đó (1) đúng với mọi \(\displaystyle n \in \mathbb N^*\)

 Loigiaihay.com

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close