Câu 15 trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho dãy số (un) xác định bởi

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho dãy số (un) xác định bởi

\({u_1} = 3\,\text{ và }\,{u_{n + 1}} = {u_n} + 5\) với mọi \(n ≥ 1\).

LG a

Hãy tính u2, u4 và u6.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& {u_2} = {u_1} + 5 = 8 \cr 
& {u_3} = {u_2} + 5 = 13 \cr 
& {u_4} = {u_3} + 5 = 18 \cr 
& {u_5} = {u_4} + 5 = 23 \cr 
& {u_6} = {u_5} + 5 = 28 \cr} \)

LG b

Chứng minh rằng \(u_n= 5n – 2\) với mọi \(n ≥ 1\).

Lời giải chi tiết:

Ta sẽ chứng minh : \(u_n= 5n – 2\) (1) với mọi \(n \in \mathbb N^*\), bằng phương pháp qui nạp.

+) Với \(n = 1\), ta có \(u_1= 3 = 5.1 – 2\)

Vậy (1) đúng khi \(n = 1\).

+) Giả sử (1) đúng với \(n = k, k\in \mathbb N^*\), tức là:

\(u_k=5k-2\)

+) Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi \(n = k + 1\)

Thật vậy, từ công thức xác định dãy số (un) và giả thiết qui nạp ta có :

\({u_{k + 1}} = {u_k} + 5 \)

\(= 5k - 2 + 5 = 5\left( {k + 1} \right) - 2\)

Do đó (1) đúng với mọi \(n \in \mathbb N^*\).

Cách khác:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{u_n} = {u_{n - 1}} + 5\\
{u_{n - 1}} = {u_{n - 2}} + 5\\
...\\
{u_3} = {u_2} + 5\\
{u_2} = {u_1} + 5\\
\Rightarrow {u_n} + {u_{n - 1}} + ... + {u_3} + {u_2}\\
= \left( {{u_{n - 1}} + 5} \right) + \left( {{u_{n - 2}} + 5} \right) + ...\\
+ \left( {{u_2} + 5} \right) + \left( {{u_1} + 5} \right)\\
\Rightarrow {u_n} + {u_{n - 1}} + ... + {u_3} + {u_2}\\
= {u_{n - 1}} + {u_{n - 2}} + ... + {u_2} + {u_1}\\
+ \left( {5 + 5 + ... + 5 + 5} \right)(\text{ n-1 số 5})\\
\Rightarrow {u_n} = {u_1} + 5.\left( {n - 1} \right)\\
\Rightarrow {u_n} = 3 + 5n - 5 = 5n - 2
\end{array}\)

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close