Bài 1.6 trang 7 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giải bài 1.6 trang 7 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Từ tính chất của hàm số ...

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Từ tính chất của hàm số \(y = \sin x\) là hàm số tuần hoàn với chu kì \(2\pi \), hãy chứng minh rằng:

LG a

Hàm số \(y = A\sin \left( {\omega x + \alpha } \right) + B\) (\(A,B,\omega ,\alpha \) là những hằng số, \(A\omega  \ne 0\)) là một hàm số tuần hoàn với chu kì \({{2\pi } \over {\left| \omega  \right|}}\)

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(A\sin \left( {\omega \left( {x + T} \right) + \alpha } \right) = A\sin \left( {\omega x + \alpha } \right)\) với mọi \(x \in R\).

Đặt \(\omega x + \alpha  = u\) , ta được \(\sin \left( {u + \omega T} \right) = \sin u\), với mọi số thực \(u\) .

Vậy suy ra \(\omega T = k2\pi \) , tức là \(T = k{{2\pi } \over \omega },k\) nguyên.

Ngược lại dễ thấy rằng

\(A\sin \left( {\omega \left( {x + k{{2\pi } \over \omega }} \right) + \alpha } \right) \)\(= A\sin \left( {\omega x + \alpha  + k2\pi } \right)\)

\(= A\sin (\omega x + \alpha )\)

Vậy số \(T = {{2\pi } \over {\left| \omega  \right|}}\) là số dương bé nhất thỏa mãn

\(A\sin \left( {\omega \left( {x + T} \right) + \alpha } \right) = A\sin \left( {\omega x + \alpha } \right)\) với mọi \(x \in R\).

(tức là \(y = A\sin \left( {\omega x + \alpha } \right)\) là một hàm số tuần hoàn với chu kì \({{2\pi } \over {\left| \omega  \right|}}\) ).

LG b

Hàm số \(y = A\cos \left( {\omega x + \alpha } \right) + B\) (\(A,B,\omega ,\alpha \) là những hằng số, \(A\omega  \ne 0\)) là một hàm số tuần hoàn với chu kì \({{2\pi } \over {\left| \omega  \right|}}\)

Lời giải chi tiết:

T là số mà \(A\cos \left( {\omega \left( {x + T} \right) + \alpha } \right) = A\cos \left( {\omega x + \alpha } \right)\), với mọi \(x \in R\) thì

\(\sin \left( {\omega \left( {x + T} \right) + \alpha  + {\pi  \over 2}} \right) \) \(= \sin \left( {\omega x + \alpha  + {\pi  \over 2}} \right)\)

Đặt \(\omega x + \alpha  + {\pi  \over 2} = u\), ta được \(\sin (u + \omega T) = \sin u\) với mọi \(u\) , từ đó \(\omega T = k2\pi \) tức là \(T = k{{2\pi } \over \omega },k\) là số nguyên.

(Cách khác, \(A\cos \left( {\omega \left( {x + T} \right) + \alpha } \right) = A\cos \left( {\omega x + \alpha } \right)\) với mọi \(x\), thì khi lấy \(x =  - {\alpha  \over \omega }\) , ta có \(\cos \omega T = \cos 0 = 1\) , từ đó \(\omega T = k2\pi \), tức \(T = k{{2\pi } \over \omega },k\) là số nguyên).

Từ đó dễ thấy rằng \(y = A\cos (\omega x + \alpha )\) là một hàm số tuần hoàn với chu kì \({{2\pi } \over {\left| \omega  \right|}}\). 

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close