Bài 16 trang 108 SGK Đại số 10

Đề bài

Bất phương trình : $mx^2+(2m-1)x+m+1<0$ có nghiệm khi

(A). $m=1$

(B). $m =3$

(C). $m = 0$

(D). $m=0,25$

Lời giải chi tiết

$+) \, m=1$ ta được $x^2+ x+2< 0$

VT của bpt có $\Delta  =  - 7 < 0$ và hệ số $a=1>0$ nên VT>0 với mọi $x$.

Do đó bpt $x^2+ x+2< 0$ vô nghiệm hay (A) sai

$+) \,m = 3$ có : $3x^2+ 5x + 4 < 0$

VT của bpt có $\Delta  =  - 23 < 0$ và hệ số $a=3>0$ nên VT>0 với mọi x

Do đó bpt $3x^2+ 5x + 4 < 0$ vô nghiệm hay (B) sai

$+) \, m = 0$, bất phương trình trở thành $–x+1< 0$ $\Leftrightarrow  - x <  - 1 \Leftrightarrow x > 1$ nên bpt có nghiệm.

Vậy (C) đúng.

$+) \,m = 0,25$ thì ta được bpt $0,25x^2-0,5x+1,25 < 0$ VT của bpt có có $\Delta  = 0,{5^2} - 4.0,25.1,25 =  - 1 < 0$ và hệ số $a=0,25>0$ vên VT>0 với mọi x.

Do đó bpt $0,25x^2-0,5x+1,25 < 0$ vô nghiệm.

Vậy (D) sai.

Chọn C.

Cách khác:

Ta tìm m để bpt đã cho vô nghiệm.

Xét f(x) = mx² + (2m – 1)x + m + 1.

+ Nếu m = 0, BPT trở thành $- x + 1 < 0 \Leftrightarrow x > 1$ nên bpt có nghiệm (TM).

+ Nếu m ≠ 0 :

f(x) có Δ = (2m – 1)² – 4.m.(m+1) = 4m² – 4m + 1 – 4m² – 4m = 1 – 8m.

BPT f(x) < 0 vô nghiệm

⇔ f(x) ≥ 0 với ∀ x ∈ R

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = m > 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\1 - 8m \le 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\m \ge \dfrac{1}{8}\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge \dfrac{1}{8}$

Vậy với mọi m ≥ 1/8 thì BPT f(x) < 0 vô nghiệm

Suy ra với mọi m < 1/8 thì BPT f(x) < 0 có nghiệm.

Trong các đáp án trên chỉ có m = 0 thỏa mãn.

Loigiaihay.com