Bài 15 trang 108 SGK Đại số 10

Đề bài

Bất phương trình $(x+1) \sqrt x ≤ 0$ tương đương với bất phương trình nào trong các bất phương trình sau?

(A). $\sqrt {x{{(x + 1)}^2}}  \le 0$

(B). $(x+1) \sqrt x<0$

(C). $(x+1)^2\sqrt x ≤ 0$

(D). $(x+1)^2\sqrt x < 0$

Lời giải chi tiết

Xét bpt: $\left( {x + 1} \right)\sqrt x  \le 0$.

ĐK: $x \ge 0$.

Vì $x \ge 0$ nên $x + 1 \ge 1 > 0$ suy ra $\left( {x + 1} \right)\sqrt x  \ge 0,\forall x \ge 0$

Do đó bpt $\left( {x + 1} \right)\sqrt x  \le 0$$\Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\sqrt x  = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\\sqrt x  = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\left( {loai} \right)\\x = 0\end{array} \right.$

Vậy bpt có tập nghiệm $S = \left\{ 0 \right\}$.

Xét BPT A: $\sqrt {x{{\left( {x + 1} \right)}^2}}  \le 0$

ĐK: $x{\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0$

Khi đó $\sqrt {x{{\left( {x + 1} \right)}^2}}  \ge 0$ nên bpt $\sqrt {x{{\left( {x + 1} \right)}^2}}  \le 0$$\Leftrightarrow \sqrt {x{{\left( {x + 1} \right)}^2}}  = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 1\end{array} \right.$

Vậy tập nghiệm của bpt là ${S_1} = \left\{ { - 1;0} \right\} \ne S$ nên không tương đương với BPT đã cho.

Loại A.

Xét BPT B: $\left( {x + 1} \right)\sqrt x  < 0$

ĐK: $x \ge 0$

Khi đó $x + 1 \ge 1 > 0$ nên $\left( {x + 1} \right)\sqrt x  \ge 0,\forall x \ge 0$

Do đó bpt $\left( {x + 1} \right)\sqrt x  < 0$ vô nghiệm.

Vậy tập nghiệm của bpt là ${S_2} = \emptyset \ne S$ nên không tương đương với BPT đã cho.

Loại B.

Xét BPT C: ${\left( {x + 1} \right)^2}\sqrt x  \le 0$  

ĐK: $x \ge 0$

Khi đó ${\left( {x + 1} \right)^2}\sqrt x  \ge 0,\forall x \ge 0$

Do đó bpt ${\left( {x + 1} \right)^2}\sqrt x  \le 0$$\Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2}\sqrt x  = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\\sqrt x  = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\left( {loai} \right)\\x = 0\end{array} \right.$

Vậy bpt có tập nghiệm ${S_3} = \left\{ 0 \right\} = S$.

Do đó hai bpt tương đương.

Chọn C.

Xét BPT D: ${\left( {x + 1} \right)^2}\sqrt x  < 0$

ĐK: $x \ge 0$.

Khi đó ${\left( {x + 1} \right)^2}\sqrt x  \ge 0$ nên bpt ${\left( {x + 1} \right)^2}\sqrt x  < 0$ vô nghiệm.

Vậy tập nghiệm của bpt là ${S_4} = \emptyset$ hay hai bpt không tương đương.

Loại D.

Chọn C.

Loigiaihay.com