Bài 1.20 trang 10 SBT Đại số 10 Nâng cao

Giải bài 1.20 trang 10 sách bài tập Đại số 10 Nâng cao. Cho các mệnh đề chứa biến. Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ”, phát biểu và chứng minh các định lí dưới đây:...

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho các mệnh đề chứa biến \(P(n)\) : “\(n\) chia hết cho 5” ; \(Q(n)\) : “\({n^2}\)  chia hết cho 5” và \(R(n)\) : \({n^2} + 1\) và \({n^2} - 1\) đều không chia hết cho 5”

Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ”, phát biểu và chứng minh các định lí dưới đây:

LG a

\(\forall n \in N,P\left( n \right) \Leftrightarrow Q\left( n \right)\)  

Lời giải chi tiết:

Phát biểu như sau : “Điều kiện cần và đủ để số tự nhiên \(n\) chia hết cho 5 là \({n^2}\) chia hết cho 5”

Chứng minh :

Nếu \(n = 5k\left( {k \in N} \right)\)  thì \({n^2} = 25{k^2}\)  chia hết cho 5.

Ngược lại, giả sử \(n = 5k + r\) với \(r = 0, 1, 2, 3, 4\). Khi đó \({n^2} = 25{k^2} + 10kr + {r^2}\)  chia hết cho 5 nên \({r^2}\)  phải chia hết cho 5.

Thử vào với \(r = 0, 1, 2, 3, 4\), ta thấy chỉ có với \(r = 0\) thì \({r^2}\)  mới chia hết cho 5.

Do đó \(n = 5k\) tức là n chia hết cho 5.

LG b

\(\forall n \in N,P\left( n \right) \Leftrightarrow Q\left( n \right)\)  

Lời giải chi tiết:

Phát biểu như sau : “Điều kiện cần và đủ để số tự nhiên n chia hết cho 5 là cả \({n^2} - 1\) và \({n^2} + 1\)  đều không chia hết cho 5”.

Chứng minh.

Nếu n chia hết cho 5 thì \({n^2} - 1\)  chia cho 5 dư 4 và \({n^2} + 1\)  chia 5 dư 1.

Đảo lại, giả sử \({n^2} - 1\) và \({n^2} + 1\)  đều không chia hết cho 5.

Gọi \(r\) là số dư khi chia \(n\) cho 5 (\(r = 0, 1, 2, 3, 4\)).

Ta có \(n = 5k + r\left( {k \in N} \right)\).

Vì \({n^2} = 25{k^2} + 10kr + {r^2}\)  nên suy ra cả \({r^2} - 1\) và \({r^2} + 1\)  đều không chia hết cho 5.

Với \(r = 1\) thì \({r^2} - 1 = 0\)  chia hết cho 5.

Với \(r = 2\) thì \({r^2} + 1 = 5\) chia hết cho 5.

Với \(r = 3\) thì \({r^2} + 1 = 10\)  chia hết cho 5.

Với \(r = 4\) thì \({r^2} - 1 = 15\) chia hết cho 5.

Vậy chỉ có thể \(r = 0\) tức là \(n = 5k\) hay \(n\) chia hết cho 5.

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !

Quảng cáo

list
close
Gửi bài Gửi bài