Câu 12 trang 225 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng caoCho dãy số (un) xác định bởi Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Cho dãy số (un) xác định bởi \({u_1} = 3\,\text{ và }\,{u_n} = 4{u_{n - 1}} - 1\) với mọi n ≥ 2 Chứng minh rằng : LG a \({u_n} = {{{2^{2n + 1}} + 1} \over 3}\) (1) với mọi số nguyên n ≥ 1 Lời giải chi tiết: Với n = 1 ta có \({u_1} = 3 = {{{2^3} + 1} \over 3}\) (1) đúng với n = 1 Giả sử (1) đúng với n = k tức là ta có : \({u_k} = {{{2^{2k + 1}} + 1} \over 3}\) Ta chứng minh (1) đúng khi n=k+1 hay \({u_{k + 1}} = \dfrac{{{2^{2\left( {k + 1} \right) + 1}} + 1}}{3}\) Với n = k + 1 ta có : \(\eqalign{ & {u_{k + 1}} = 4{u_k} - 1 = 4.{{{2^{2k + 1}} + 1} \over 3} - 1 \cr &= {{4\left( {{2^{2k + 1}} + 1} \right) - 3} \over 3} \cr & = {{{2^{2k + 3}} + 1} \over 3} = {{{2^{2\left( {k + 1} \right)+1}} + 1} \over 3} \cr} \) Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với ∀ n ≥ 1 LG b (un) là môt dãy số tăng. Lời giải chi tiết: Ta có: \(\eqalign{ & {u_{n + 1}} - {u_n} = {{{2^{2n + 3}} + 1} \over 3} - {{{2^{2n + 1}} + 1} \over 3} = {{{2^{2n + 1}}\left( {{2^2} - 1} \right)} \over 3} \cr & = {2^{2n + 1}} > 0 \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n} \cr} \) ⇒ (un) là dãy số tăng. Loigiaihay.com  Chia sẻ Bình luận
Quảng cáo
2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!
|
