Cách tìm vecto chỉ phương biết vecto pháp tuyến của đường thẳng - Toán 10

Vecto \(\overrightarrow n \) được gọi là vecto pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \) nếu \(\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 \) và giá của vecto \(\overrightarrow n \) vuông góc với \(\Delta \).

- Nếu \(\overrightarrow n \) là một vecto pháp tuyến của \(\Delta \) thì \(k\overrightarrow n \) \((k \ne 0)\) cũng là một vecto pháp tuyến của \(\Delta \).

- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vecto pháp tuyến của đường thẳng đó.

Vecto \(\overrightarrow u \) được gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) nếu \(\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0 \) và giá của vecto \(\overrightarrow u \) song song hoặc trùng với \(\Delta \).

Nhận xét:

- Nếu \(\overrightarrow u \) là một vecto chỉ phương của \(\Delta \) thì \(k\overrightarrow u \) \((k \ne 0)\) cũng là một vecto chỉ phương của \(\Delta \).

- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vecto chỉ phương của đường thẳng đó.

Giả sử đường thẳng d có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = (a;b)\).

Khi đó, d có một vecto chỉ phương là \(\overrightarrow u  = (b; - a)\). Đồng thời, \(k\overrightarrow u  = (kb; - ka)\) cũng là các vecto pháp tuyến của d.

Ví dụ minh hoạ:

1) Cho đường thẳng d có \(\overrightarrow n  = (2; - 1)\) là vecto pháp tuyến. Tìm một vecto chỉ phương của d.

Giải:

\(\overrightarrow u  = (1;2)\) là một vecto chỉ phương của d. Các vecto cùng phương với \(\overrightarrow u  = (1;2)\) cũng là vecto chỉ phương của d.

2) Cho đường thẳng d có phương trình tổng quát \(4x + 5y - 20 = 0\). Lập phương trình tham số của d.

Giải:

Từ phương trình tổng quát, ta biết một vecto pháp tuyến của d là \(\overrightarrow n  = (4;5)\). Từ đó suy ra một vecto chỉ phương của d là \(\overrightarrow n  = ( - 5;4)\).

Mặt khác, điểm (0; 4) thuộc đường thẳng d.

Phương trình tham số của d là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 - 5t\\y = 4 + 4t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 5t\\y = 4 + 4t\end{array} \right.\).